Тема 1.4 Однофазные цепи переменного тока.

Переменным называют ток (или напряжение), который изменяется периодически по направлению и непрерывно по значению. Промежуток времени, в течение которого происходит полный цикл изменения тока по величине и направлению, называется п е р и о д о м, а число периодов п секунду - частотой переменного тока

¦= 1/Т (4.1)

где ¦ - частота, Гц, Т- период, с.

В России для электрических сетей стандартная частота переменного тока, равная 50 Гц (50 периодов в секунду).

На рис. 4.2 дана схема получения синусоидальной э.д. с. (простейший генератор). Прямолинейный провод­ник вращается с постоянной частотой в равномерном маг­нитном поле. Положения, которые он занимает при пере­мещении вокруг неподвижного центра, обозначены цифрами 1-12:

Значения э.д.с. в каждый момент времени или при каждом поло­жении проводника принято называть мгновенными значениями э.д.с. и обозначать е, например е₁, е₂ и т. д. Можно определить значения э. д. с. для каждого положения проводника

E = B l v sin a (4.2)

E = E_m sin a (4.3)

Переменный угол а называют фазным или просто ф а з о й.

Между угловой скоростью и частотой существует зависимость:

w = 2p¦ = 2p/Т (4.4)

При синусоидальной э. д. с. ток и напряжение изме­няются по аналогичному закону

I = I_m sin w t (4.6)

u = U_m sin w t. (4.7)

Амплитуды - наибольшие мгновенные значения, которые принимают переменные напряжения и токи. За один период напряжение и ток имеют два амплитудных зна­чения: положи - тельное и отрицательное.

Действующим значением переменного сину­соидального тока называют такое значение, которое чис­ленно равно значению постоянного тока, протекающего через то же сопротивление и вызывающего выделение та­кого же количества теплоты за равное время.

Между амплитудным I_m и действующим значением пере­менного тока I существует следующее соотношение:

I = I_mÖ 2 = 0, 707 I _т. (4.9)

Для э. д. с. и напряжения соотношения аналогичны:

(4.10) (4.11)

Цепь переменного тока с активным сопротивлением. Под активным cопротив- лением провод­ника понимают такое сопротивление, в котором энергия выделяется в виде теплоты. Электрическая цепь обладает активным сопротивлением R, индуктивностью L и емко­стью С, которые являются ее параметрами.

Рассмотрим электрическую цепь переменного тока, в которую включено только активное сопротивление (рис.4.6, а):

К этой цепи подведено переменное напряжение, изменяющееся по за­кону и =U_m sin wt.

Для определения мгновенного значения тока в цепи воспользуемся законом Ома

i = U/R = U_m sin wt / R = I_m sin wt (4.12)

Амплитудное значение тока

I_m = U_m / R (4.13)

Из выражения (4.12) следует, что изменение тока по времени точно совпадает с изменением напряжения; максимумы и минимумы этих величин наступают одновременно. Такие величины называют совпадающими по фазе.

Выражение для действующего значения тока

I = U/R. (4.14)

Цепь переменного тока с индуктивностью. Рассмотрим теперь цепь, обладающую только индуктивностью L. Она реально не существует, так как любая катушка обязательно содержит и активное сопротивление. Однако для уяснения физической стороны процесса исследуем катушку, лишен­ную активного сопротивления (рис. 4.7, а).

Известно, что e_L = - L di/ dt.

Следовательно, u= L di/ dt

Для максимальных значений напряжения и тока полу­чим следующее выражение:

U_m = I_m wL. (4.16)

Для действующих значений

U = I w L (4.17)

или

I = U/(wL) = U/X_L. (4.18)

Эта формула выражает закон Ома для цепи переменного тока с индуктивностью. Значение X_L=wL=2pfL называют индуктивным сопротивлением. Легко по­казать, что X_L выражается, как и активное сопротивле­ние, в омах: X_L = 1/с* Гн = 1/с* Ом*с = Ом.

В цепи с индуктивно­стью ток отстает по фазе от напряжения на четверть периода (во времени), а в угловой мере - на 90° (p/2).

Цепь переменного тока с емкостью. Рассмотрим цепь, в которую включен конденсатор с емкостью С; предпо­ложим, что конденсатор не имеет активного сопротивле­ния (рис. 4.8, а):

При включении конденсатора в цепь переменного тока происходит непре­рывный процесс перезарядки конденсатора с изменением два раза в течение периода знака заряда обкладок с плюса на минус и наоборот. В результате этого по цепи непрерывно движутся заряды, т. е. протекает переменный ток, называемый емкостным.

Закон изменения тока будет иметь следующее выражение:

i = U_т w С cos wt (4.19)

Для действующих значений I = U w С, или

I = U/ [1/(wС)], (4.20)

где 1/ (wС) - емкостное сопротивление Х_с :

Х_с = 1/(wС) = 1/(2p¦С). (4.20а)

Формула (4.20) выражает закон Ома для цепи с емкостью.

На рис. 4.8, б показаны кривые изменения напряжения и тока для такой цепи и векторная диаграмма. В отличие от цепи с индуктивностью ток в данном случае по фазе опере­жает напряжение на 1/4 периода (p/2).

Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью. Рассмотрим приведенную на рис. 4.9, а цепь с реальной катушкой, имеющей активное и индук­тивное сопротивления. Для такой цепи уравнение второго закона Кирхгофа для мгновенных значений тока и напря­жения запишем следующим образом: u + e_L = iR; и = - Ldi/dt.

или u = iR +L di/ dt = u_R + u_L. (4.21)

Следовательно, в данном случае имеет место последова­тельное соединение L и R и напряжение, приложенное к катушке, состоит из двух слагаемых:

падения напряжения в активном сопротивлении

u_R = i R (4.22)

и напряжения

u_l = Ldi/ dt (4.23)

уравновешивающего э. д. с. самоиндукции.

Из изложенного следует, что вектор падения напряже­ния совпадает по направлению с вектором тока, а вектор U_L опережает его на 90^о. Сложив геометрически векторы, получаем вектор напряжения U (см. векторную диаграмму на рис. 4.9, б). Таким образом, в цепи с реаль­ной катушкой ток тоже отстает от напряжения, но на угол φ, меньший 90°.

Если в полученном на векторной диаграмме треуголь­нике напряжений разделить значения сторон на ток I, то получим треугольник сопротивлений (рис. 4.10), катеты которого равны активному R и индуктивному X_L сопро­тивлениям, а гипотенуза

Z =Ö R²+X_L² (4.24)

Z называют полным сопротивлением цепи. Угол сдвига фаз j определяется из следующих соотноше­ний:

tg j= X_L/R (4.25)

cos j = R/Z (4.26)

sin j = X_L/Z (4.27)

Из треугольника напряжений вытекают следующие соотношения:

U_R =U соs j (4.28)

U_L = U sin j (4.28а)

Проекция вектора напряжения на вектор тока называ­ется активной составляющей вектора напряжения и обозначается U_а. Проекция вектора напря­жения на направление, перпендикулярное вектору тока, называется реактивной составляющей век­тора напряжения и обозначается U_р, в данном случае U_р = U_L. По аналогии, вектор тока можно разложить на активную и реактивную состав­ляющие, что видно из рис. 4.11 (треугольник токов):

I_a = I cos j (4.29)

I_p = I sin j (4.30)

I = Ö I_a² + I_р² (4.30а)

Проекцию вектора общего то­ка на вектор приложенного на­пряжения называют актив­ной составляющей тока (I_а), а проекцию векто­ра общего тока на направле­ние, перпендику- лярное вектору приложенного напряжения, - реактивной составляющейтока(Iр)

Рис. 4.12. Последовательное соединение: а - схема; б - векторная диаграмма

Последовательная цепь переменного тока с активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. На рис. 4.12 представлена цепь переменного тока, обладающая актив­ным сопротивлением R (резистор), индуктивностью L (катушка) и емкостью С (конденсатор). В такой цепи при­ложенное напряжение состоит из трех слагаемых - ак­тивной, индуктивной и емкостной:

u = u_а + u_L + u_с,

Для действующих значений суммирование слагающих должно производиться геометрически: U = U_a + U_L, + U_c. Отдельные составляющие действующих значений на­пряжения согласно закону Ома следующие: U_a=IR; U_L=IX_L; U_C=IX_C.

Из построенной на рис. 4.12 векторной диаграммы следует, что действующее значение приложенного напря­жения

(4.31)

Подставив значения составляющих, получаем

(4.32)

Отсюда

(4.33)

Полученное выражение является формулой закона Ома для цепи переменного тока, в которой знаменатель выра­жает полное сопротивление неразветвленной цепи перемен­ного тока:

(4.34)

Резонанс напряжений. Как видно из выражения (4.33), при X_L-X_с общий ток в цепи определяется только актив­ным сопротивлением (X_L - Х_с = 0) и имеет наибольшее значение. В такой цепи имеет место резонанс напряжений. При этом напряжения U_L=U_C направлены в противополож­ные стороны и компенсируют друг друга. Однако при не­больших значениях R, U_L и U_c каждое может быть зна­чительным, что может привести к пробою изоляции индук­тивной катушки и конденсатора. При резонансе напря­жений wL = 1/(wC), откуда

w_p = l/Ö LC (4.35)

Величину w_р называют угловой резонансной частотой, и зависит она только от величин индуктив­ности и емкости цепи. Резонансная частота цепи (собст­венная частота)

¦_р = 1/(2pÖ LC). (4.36)

При резонансе напряжений энергии полей магнитного W_M = LI²/2 и электрического W_э=CU²/2 равны и взаимно передаются от катушки к конденсатору при колебаниях тока и напряжения без потребления энергии от источника, т. е. возникают незатухающие колебания. Энергия источ­ника, питающего цепь, расходуется только на выделение теплоты в активном сопротивлении.

Векторная диаграмма при резонансе на­пряжений приведена на рис. 4.13. Следу­ет иметь в виду, что явление резонан­са имеет место при равенстве собствен­ной частоты колебательного контура с частотой источника переменного тока.

К о л ебательным контуром называют электрическую цепь, со­держащую емкость и индуктивность, в которой возникают колебания тока и на­пряжения. Явление резонанса напряже­ния используется в технике, связи и радиотехнике для настройки цепи на определенную частоту. В электроэнер­гетических установках (линиях электропередачи) резонанс напряжений - явление вредное, так как возникают пере­напряжения, опасные для изо­ляции установок.

Параллельная цепь перемен­ного тока. На рис. 4.14 показана цепь переменного тока, со­стоящая из двух катушек, соеди­ненных параллельно, облада­ющих активными R ₁ и R₂ и индуктивными Х₁ и Х₂ сопротивлениям. Нетрудно увидеть, что на зажимах катушек напряже­ние U будет одинаковым (со­противлением соединительных проводов пренебрегаем). Ток в первой параллельной ветви со­гласно закону Ома I1 = U/Z₁ = U/Ö R₁²+X₁², а во второй

I₂ = U/Z₂ = U/Ö R₂² +X₂²

Эти токи отстают по фазе от напряжения на углы сдвига фаз j₁ и j₂, причем tg j₁ = X₁/R₁ и

tg j₂ = X₂/R₂. Токи I₁ и I₂ можно разложить на активную и реактивную составляющие: I_a1= I₁ cos j₁ и I_p1 = I₁ sin j₁; I_a2 = I₂ cosj₂ и I_p2 = I₂ sinj₂.

Рис. 4.13. Вектор­ная диаграмма при резонансе напря­жений	Рис. 4.14. Параллельное со­единение двух катушек: а - схема; б - векторная диаграмма

Сумма активных составляющих токов ветвей, совпада­ющих по фазе, равна активной составляющей общего тока:

I_а = I_a1+I_a2 (4.43)

Сумма реактивных составляющих токов ветвей равна реактивной составляющей общего тока:

I_p = I_p1 + I_p2 (4.44)

Общий ток, протекающий в неразветвленной части цепи,

I = Ö I_a² + I_р² (4.45)

Этот ток отстает по фазе от приложенного напряжения на угол j, причем

tg j = I_p/I_a (4.46)

cos j = I_а/I (4.47)

sin j = I_p/I (4.48)

Разветвленная цепь состоит из соединенных параллельно индуктивности и емкости (рис. 4.15), в такой цепи при wL = l/(wC) возникает явление резонанса токов, при кото­ром токи в ветвях 1_L и I_с равны между собой и могут значительно превышать об­щий ток I, протекающий в неразветвленной части цепи. Условия появления резонанса токов аналогич­ны ранее изложенным для случая резонанса напряже­ний. При резонансе токов вся энергия, подводимая к цепи, расходуется на выделение теплоты в активном сопротивлении цепи, а между индук­тивностью и емкостью происходит колебательный обмен запасенной энергией.

Рис. 4.15. Параллельное соединение катушки и конденсатора:

а - схема; б – векторная диаграмма

В отличие от резонанса напряжений резонанс токов не представляет опасности. Он возникает, когда в цепь вклю­чены мощные конденсаторные батареи и реактивные ка­тушки, что учитывается при расчете сети и не является неожиданным.

Работа и мощность в цепи переменного тока. Мощность, потребляемая в цепи, равна произведению напряжения на ее зажимах и силы тока. При переменном токе это справедливо только для мгновенных значений мощности: р = u i.

В цепях, обладающих кроме активного сопротивления индуктивностью и емкостью, т. е. реактивными сопротив­лениями, имеет место сдвиг фаз между током и напряже­нием, поэтому активная мощность, развиваемая перемен­ным током в таких цепях, меньше произведения UI:

Р = U I cos j (4.49)

Величину cos j принято называть коэффициен­том мощности.

В теории переменного тока помимо активной мощности, выражаемой в ваттах (Вт) и киловаттах (кВт), пользуются еще понятиями реак­тивной мощности Q [ВАр] и полной S [ВА]:

Q = U I sin j (4.49)

S = U I (4.51)

На основании формул (4.49) - (4.51) легко построить графическое изображение треугольника мощностей (рис. 4.17), гипотенуза которого:

S = Ö Р²+ Q² (4.52)

Рис. 4.17. Треугольник мощностей

Активная мощность

Р = UI cos j = Р=UI_а. (4.53)

т. е. мощность равна произведению действующих значений напряжения и активной составляющей тока. Соответст­венно реактивная мощность равна произведению действу­ющих значений напряжения и реактивной составляющей тока:

Q = Р = UI sin j = UI_р. (4.54)

Активная мощность характеризует преобразование элект­рической энергии в другие виды (теплоту, механическую работу).

Реактивная мощность характеризует колебания элект­рической энергии между генератором и электроприемни­ком, обусловленные переменными электрическим и магнит­ным полями.