Серия 7. Уравнения в целых числах

1. Докажите, что уравнение x ² + 2010 = y ² не имеет решений в целых числах.

2. Решите в натуральных числах уравнение: x + 1/(y + 1/ z) = 10/7

3. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде x ²+ y ²+ z ²

4. Решите в простых числах уравнение .

5. Докажите, что число 53× 83× 109 + 40× 66× 96 – составное.

6. Докажите, что уравнение 3 ^N +55 = m ² имеет только конечное число решений.

Домашние

7. (1 балл) Решите в натуральных числах уравнение: x + 1/(y + 1/(z + 1/ t)) = 44/13

8. (1 балл) Решите в целых числах уравнение , где b и c – простые.

9. (1 балл) Докажите, что делится на 2 ^{n +2}, но не делится на 2 ^{n +3}.

10. (2 балла) Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде x ³+ y ³+ z ³

11. (3 балла) a – фиксированное натуральное число. Докажите, что уравнение x! = y ²+ a ² имеет лишь конечное число решений (x, y).