Решение плоских задач фильтрации методами теории функций комплексного переменного

Общие положения теории функций комплексного переменного

Круг задач, рассмотренных в предыдущем разделе, может быть значительно расширен, если к решениям применить аппарат теории функций комплексного переменного. При этом оказывается возможным исследовать отдельные вопросы плоского потока более полно. Рассмотрим связь между задачами плоского фильтрационного потока и теорией функций комплексного переменного.

Совместим с основной плоскостью течения плоскость комплексного переменного z = х + iy. Каждое комплексное число z изображается в этой плоскости точкой М (х, у) (рис. 8.1.). Функцией комплексного переменного z будет комплексное переменное F (z), если указан закон, позволяющий получить значение F (z) no заданному значению z.

Отделив в функции F (z) действительную часть от мнимой, можем записать

F (z) = F (х + iy) = j (х, у) + iy (х, у), (8.1)

где j (х, у) и y (х, у) - некоторые функции действительных переменных х и у; i – мнимая единица.

Задать функцию комплексного переменного - значит задать соответствие между парами чисел (х, у) и (j, y). Функция F (z) является аналитической в точке z_m, то есть имеющей производную во всех точках некоторой окрестности z_m.

В теории функций комплексного переменного имеются следующие положения:

8. Каждые две кривые, из которых одна принадлежит семейству кривых, определяемых уравнением j (х, у) = С, а другая - семейству кривых y (х, у) = С^* (С и С^* – постоянные), пересекаются под прямым углом, т. е. два семейства кривых образуют ортогональную сетку в основной плоскости течения.

2. Функции j (х, у)и y (х, у)удовлетворяют уравнению Лапласа, то есть

; (8.2)

. (8.3)

Положения 1 и 2 справедливы, если выполняются такие условия:

. (8.4)

Условия (8.4) называются уравнениями Коши – Римана.