Смешанное произведение векторов.

Теорема. Объем v параллелепипеда, построенного на векторах е ₁ , е ₂, е ₃ , с общим

началом, выражается равенством

. (1.1.16.)

Положительный либо отрицательный знак выбирается в зависимости от того, образуют ли векторы-сомножи­тели правую или левую тройку.

	Доказательство. До­пустим, что е1 , е2, е3 образуют правую систему (рис 1.1.9). Тогда . Здесь А обозначает площадь основа-ния ОР 1 QР 2 параллелепипеда, а n –единичную нормаль к плоскости основания, образующую с третьим вектором е3 угол, меньший 900 . Следовательно произведение n е3 равно высоте параллелепипеда. Тогда = (площадь основания) (высота) = v.
Рис. 1.1.9. Смешанное произведение векторов

Если е ₁ , е ₂, е ₃ образуют левую систему, то тройка е ₂, е ₁ , е ₃ будет правой. Поэтому , в соответствии с только что доказанной теоремой.

В скалярном тройном (смешанном) произведении скобки можно опустить. Операция вектор­ного умножения тогда должна быть выполнена первой и только затем уже производится скалярное умноже­ние. Из проведенного доказательства видно, что сме­шанное произведение не изменяется при любой цикли­ческой перестановке векторов и умножается на -1 при перемене места двух векторов. Кроме того, эта вели­чина сохраняется при перестановке символов «» и «» и становится равной нулю, когда два вектора-сомно­жителя равны или параллельны, либо когда один из векторов является линейной комбинацией двух других. В любом из трех последних случаев все три вектора будут компланарны, и объем параллелепипеда окажется равным нулю. Все перечисленные свойства можно вы­разить записью

или 0, (1.1.17.)

в соответствии с тем, будет ли подстановка 1, 2, 3 чет­ной или нечетной, два или три из чисел i, j, k окажутся одинаковыми. Сказанное справедливо, когда е ₁, е ₂, е ₃ образуют правую систему.

1.1.18. Взаимные векторы е ¹, е ², е ³

Для неортогонального базиса оказывается удобным ввести три вектора е ¹, е ², е ³ с помощью определений

, , , (1.1.18.)

где е ₁, е ₂, е ₃ образуют правую тройку. Формулы (1.1.18.) можно представить в обобщенной записи

(1.1.19)

в этих уравнениях объем базисного параллелепи­педа v выражается уравнениями (1.1.16) и (1.1.17) Опреде­ленные таким способом векторы e ⁱ называются взаим­ными по отношению к системе e _i. Векторы, очевидно, нормальны к граням базисного параллелепипеда. Сле­довательно, они линейно независимы и некомпланарны. Наиболее важное свойство векторов e ⁱ выражается ра­венством

(1.1.20)

Им фактически можно воспользоваться (взамен (1.1.19.)) как определением взаимных векторов e ⁱ (при заданных e _i) либо e _i (когда известны e ⁱ). Уравнение (1.1.20) является обоб­щением (1.1.10) и доказывается непосредственно скаляр­ным умножением системы (1.1.19) на e ⁱ, т. е. в соответ­ствии с (1.1.17).

Если е ¹, е ², е ³ образуют левую тройку, то для сохране­ния в силе (1.1.20) в определении (1.1.19) следует изме­нить знак. В последующем мы для определенности бу­дем пользоваться правой системой е ¹, е ², е ³, если только противоположное не будет оговорено особо.

Из (1.1.15) и (1.1.19) замечаем, что величины v е ¹, v е ², v е ³, представляют собой направленные во внутрь объема ареальные векторы граней ОР ₂ Р ₃ַ, ОР ₃ R ₁, ОР ₁ Р ₂ базис­ного параллелепипеда (рис. 1.1.7).

В качестве простейшего примера применения взаим­ных векторов e ⁱ рассмотрим вывод соотношений для ко­эффициентов rⁱ в разложении (1.1.8.) произвольного век­тора r по осям базиса e _i.

Скалярным умножением обеих частей формулы (1.1.8.) на e ^j и подстановкой (1.1.20) приходим к следующему обобщению формулы (1.11):

r е _i = , i = 1, 2, 3. (1.1.21)

1.1.19. Ковариантные и контравариантные координаты вектора.

Положение точки М (Рис. 1.1.10), заданной радиус-вектором r(M)можно одинаково хорошо задать как значе­ниями ri - r(M)= r(ri)так и значениями ri - r(M)= r(ri).Но фактические значения этих трех компонент в обоих случаях различны. Первые называются ковариантнымикомпонентами, а вторые - контравариантнымикомпонентами перемещения ОМ. Обычно кажется, что было бы более естественно поменять эти прилагательные местами. Однако ковариантная компонента в направлении ri обладает тем свойством, что при заданном положении точки М она не зависит от направлений двух других осей; это неверно для контравариантной компоненты, и в этом отношении ковариант­ные компоненты могут показаться более фундаментальными. С другой

Рис. 1.1.10. Координатное представление радиус-вектора

стороны, если мы изменим одну из контравариантных компонент без изменения двух других, то мы сразу же узнаем, на сколько и в каком направлении переместится точка. Это не очевидно при изменении одной ковариантной компоненты. Поэтому обе системы имеют свои достоинства