Радиус-вектор точки пространства.

Положение произвольной точки R в трехмерном пространстве относительно начала координат 0 определяется радиус-вектором (рис. 1.1.7.) (1.1.7.) В формуле цифры 1, 2, 3 над буквой х означают индекс, но не степень. Произвольный векторr может быть выражен через базисные векторы е i (i =1, 2, 3) по формуле (1.1.8.)
Рис. 1.1.7. Базисный параллелепипед

при соответствующем выборе скалярных коэффициентов r ¹, r ², r ³.

Доказательство. Представим r радиус-вектором OR (рис. 1.1.7.), где О – вершина базисного параллелепипеда с ребрами ОР ₁ = е ₁. Пусть прямая, проходящая через конец R параллельно ОР ₃ пересекает плоскость ОР ₁ Р ₂ в точке М. Проведем затем через М прямую, параллельную ОР ₂ до пересечения с ОР ₁ в точке L. Тогда OL= r ¹ е ₁, где = OL/OP ₁. LМ = r ² е ₂, где = LМ/OP ₂, и МR = r ³ е ₃, где = МR/OP ₃. Значит, OR = OM + MR = OL + LM + MR, следовательно

r = OR =

и теорема доказана.