Интерпретация физического пространства и времени в гидромеханике.

1.1.1. Теоретическая гидромеханика, исходит из геометрических представлений об абсолютном трехмерном пространстве, существующем независимо от содержащихся в нем материальных объектов, и времени, как о выделенном измерении, которое носит так же абсолютный характер и течет с одинаковой скоростью для всех материальных объектов независимо от их состояния. Объединение геометрического и временного подпространств образует пространственно-временной континуум. Последний состоит из бесконечного несчетного множества точек. Каждой точке в некоторой системе отсчета (системе координат) сопоставляется упорядоченный набор из четырех чисел (t, х¹, х², х³), где t – рассматриваемый момент времени; х^l, х², х³ – координаты места (положения) точки в геометрическом пространстве. Вели­чины (t, х¹, х², х³) есть декартовы координаты точек пространственно-временного континуума или координаты радиус-вектора точки .

Система отсчета (система координат ) может быть геометрически связана с реальными объектами, например с «неподвижными» Полярной звездой, Солнцем или твердым телом, рассматриваемыми как тело отсчета. В последнем случае координаты (х¹, х², х³) отож­дествляются с конкретными точками твердого тела. В теоретических построениях часто используются системы отсчета не связанные непосредственно с какими-либо реальными телами и событиями (аффинная система отсчета).

Таким образом, пространственно-временной континуум есть четырехмерное декартово пространство. Трехмерное пространство, в котором разворачивается геометрия, можно представлять как поверхность уровня t = сопst.

Системы координат в геометрическом пространстве.

1.1.2. Декартова система координат. Декартова си­стема координат связывает с каждой точкой Р пространства, в кото­ром выбраны три не лежащие в одной плоскости направленные прямые Ох, Оy, Оz (оси координат), пересекающиеся в начале О, три вполне определенных действительных числа (декартовы коор­динаты) х, y, z; при этом пишут Р (x.y, z).

Пусть задана (в общем случае косо­угольная) система осей Оx, Оу, Оz (рис. 1.1.1); тогда плоскость, проходящая через точку Р и параллельная плоскости Оyz пересекает ось Ох в точке Р '. Аналогично плоскости, проходящие через Р и парал­лельные соответственно Оxz и Оху, пересе­кают ось Оу в точке Р " и ось О z в Р " '. Длине каждого из направленных отрезков , и приписывается знак плюс, если направление отрезка совпадает с на­правлением соответствующей оси, и знак минус в противном случае. Числа х = ОР '(абсцисса), у = ОР " (ордината), z = ОР '" (аппликата) называются декарто­выми координатами точки Р (x. y, z) относительно данной системы координат, образованной осями Ох, Оy, Оz и выбранными на осях единицами масштаба.

Рис. 1.1.1. Правая декартова косоугольная система координат. Отрезки ОЕ 1, ОЕ 2 и ОЕ 3 – единицы масштаба на осях.

1.1.3. Правая система осей. Оси Ох, Оу, могут образовывать правую или левую систему. Для правой системы (см. рис. 1.1-1) поворот от оси Ох к оси Оу на угол, меньший p, совершается в направлении против часовой стрелки, если смотреть на плоскость Оху из какой-либо точки положитель­ной полуоси Oz (положительная сторона плоскости Оху).

1.1.4. Координатные поверхности и координатные линии. Условие x = сопst (y = сопst или z = сопst) определяет координатную плоскость, параллельную плоскости yOz (соответственно zOx или xOy)Координатные плоскости, соответствующие различным значениям одной и той же координаты x (y или z), нигде не пересекаются. Две координатные плоскости, соответствующие различным координатам, например, х, y, (y, z или x, z) пересекаются по координатной прямой, соответ­ствующей третьей координате z (x или y). Каждая точка (х. у, z) геометрического пространства может быть представлена как точка пересечения трех координатных плоскостей или трех координатных прямых.

Рис. 1.1.2. Базисные векторы системы координат.

1.1.5. Базисные векторы.Однозначность декартовой координатной системы может быть установлена заданием трех некомпланарных базисных векторов e1, e2, e3, исходящих из начала координат, каждый из которых направлен параллельносоответствующей координатной линии в сторону возрастания численного значения координаты места точек и определяющих масштаб пространства в данной системе. Расположение базисных векторов по отношению друг к другу может быть задано углами, образованными каждой парой базисных векторов (рис. 1.1.2.). Задание углов f ij (i, j = 1, 2, 3) между базисными векторами в неявном виде вводит определение расстояний между точками пространства.

1.1.6. Направляющие векторы (орты). Базисные векторы e _i (i =1, 2, 3)с модулем 1 (число) в направлении оси xⁱ (i =1, 2, 3) называется единичными или направляющими векторами в направлении оси xⁱ (i =1, 2, 3) и обозначены на рис. 1.1.2. соответственно i ₁, i ₂, i ₃, где

(1.1.5.)

В прямоугольной декартовой системе координат (f₁₂ =f₂₃ =f₃₁ = 90⁰) направляющие векторы по осям х (абсцисс), y (ординат), z (аппликат) часто обозначают соответственно i, j, k. Таким образом, координаты направляющих векторов представляются в виде

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). (1.1.6.)

1.1.7. Ортогональная система координат – система координат, в которой каждая пара базисных векторов перпендикулярна друг другу, т.е. образуют ортогональный базис

1.1.8. Ортонормированная система координат – система координат, в которой каждая пара направляющих (единичных) векторов перпендикулярна друг другу, т.е. образуют ортогональный нормированный на единицу базис (ортонормированный базис, ортонормированный репер)

1.1.9. Метрическое пространство. Пространство, в котором определено расстояние между точками называется метрическим.

Правило суммирования.Лю­бое физическое измерение - это определение отдельной вели­чины. Наиболее элементар-ными измерениями, кроме про­стого счета, являются измерения расстояний. Очевидно, что расстояния вдоль задан­ной прямой аддитивны в некотором смысле и удов-летворяют законам ассоциативности и коммутативности сложения. Но если два расстояния взяты не вдоль одной прямой, то их сумма не может быть определена­

Рис. 1.1.3. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

однозначно без дополнитель­ных условий.

Если Р, Q, R - три точки (рис.1.1.3.), то расстояние PR определяется не только расстояниями PQ и QR. Между расстояниями вдоль любых прямых PQQ^/ и PRR^/ имеется экспериментально проверяемое соотношение, известное из планиметрии как определение третьей стороны треугольника по заданным двум сторонам и углу между ними:

QR ² = PQ ² + QR ² - 2 PQ PR соsf,

QR^{/ 2} = PQ^{/ 2} + QR^{/ 2} - 2 PQ^/ PR^/ соsf,

когда точка Р не лежит между точками Q и Q^/.

Из этих соотношений следует, что

Это отношение (число) определяет косинус угла, а значит и угол, между прямыми PQQ^/ и PRR^/. Угол определяет понятие направления в пространстве. Оно делает угол производной величиной, а свойство аддитивности углов принимаемое в геометрии Евклида может быть выведено из него. Более того, из этого соотношения можно развить всю теорию Евклида вплоть до введения прямоугольных координат.