Вектор противоположный данному вектору а

(- 1)· а = - а или - а = (- a _{1, -} a ₂, …, - a_n),

очевидно, что a + (- а) = a - а = 0.

Отсюда следует, что для сложения векторов существует обратная операция-вычитание: разность векторов a и b представляется вектором

a – b = a + (- b) = ((a _1, a ₂, …, a_n) + [- (b _1, b ₂, …, b_n)]= (a ₁ - b ₁, a ₂ - b ₂, …, a_n - b_n)

Произведение вектора а на действительное число (скаляр) a является обобщением операции сложения векторов

a а = а a = (a a _1, a a ₂, …, a a_n) = (a a_i, i = 1, 2, …, n);

1 а = а; 0 а = 0;

Некоторые простейшие соотношения, следующие из приведенных выше определений векторных операций

а + b = b + а ( коммутативность); а + (b + с) = (а + b) + c = а + b + с (ассоциативность); a(b a) = (ab) a; (a+b) а = a а + b а; a(a + b) = a а + a b;

Совокупность всех п -мерных векторов с действительными компонентами, рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется п -мерным линейным пространством.

для различных классов век­торов, имеющих различные физические размерности (например, перемещения, скорости, силы и т.п.).

Линейная зависимость векторов. Всякая зависимость вида , называется линейной комбинацией векторов a, b, …, d.

Если = 0, то система векторов a, b, …, d называется линейно зависимой, т. е. любой вектор этой системы может быть выражен через другие вектора этой системы, например,

.

Если 0, то система векторов называется линейно независимой.

Например, на прямой существует один линейно независи­мый вектор, а любые два вектора линейно зависимы. Следовательно, прямая представляет собой одномерное линейное пространство.

На плоскости существуют два линейно независимых век­тора, но любые три вектора линейно зависимы, поэтому плоскость является двумерным пространством

В пространстве существуют три линейно независимых вектора, а любые четыре вектора линейно зависимы. По­этому размерность пространства равна трем.

Продолжая по аналогии, можно показать, что в линейном пространстве, элементами которого являются, векторы a = (a _1, a ₂, …, a_n) всегда найдутся п линейно независимых векторов е ₁, е ₂, …, е _п, таких, что любой (п + 1)-й вектор а может быть, и при том единственным образом, представлен в виде линейной комбинации векторов

(1.1.3.)

Такая совокупность векторов е ₁, е ₂, …, е _п называется базисом пространства, вектора е _i (i =1, 2, … n) – базисными векторами.

Чаще всего в качестве базиса пространства выбирают линейно независимые векторы, каждый из которых имеет лишь одну не равную нулю компоненту

е _{1 =}(е_1, 0_, 0, 0, _… 0, 0) (1.1.4.)

е ₂ = (0, е₂, 0, 0, … 0, 0)

е ₃ = (0, 0, е₃, 0, … 0, 0)

………………………..

е _п = (0, 0, 0, 0, … 0, е _п)

В этом случае базис называется ортогональным базисом.

Векторы и физические размерности. В гидромеханике значения компонент (a _1, a _2, … a_n) n -мерного вектора а связаны с системами физических мер. Векторы можно умножать не только на безразмерные скаляры (например, постоянный вектор скорости умножают на интервал времени, чтобы получить вектор перемещения). Если физическая величина есть вектоp (2) или (3), то ее фuзuческую размерность целесообразно приписать компонентам вeктоpа, а не базисным векторам. При этом последние рассматриваются, как безразмерные величины и могут быть использованы в качестве общей базисной системы