Основные теоретические положения. Относительным покоем называется такое состояние, при котором в жидкости, находящейся в движущемся относительно Земли сосуде

Относительным покоем называется такое состояние, при котором в жидкости, находящейся в движущемся относительно Земли сосуде, отсутствует взаимное смещение частиц.

В общем виде состояние относительного покоя описывается дифференциальным уравнением равновесия следующего вида:

где Х, Y, Z - проекции ускорений массовых сил на соответствующие координатные оси, м/с²;

dx, dy, dz - отрезки по координатным осям, м;

ρ - плотность жидкости, кг/м³;

dP - полный дифференциал давления, Па.

При рассмотрении относительного покоя жидкости решаются следующие две задачи:

-определяется закон распределения давлений в жидкости;

-определяется уравнение поверхности равного давления.

Рассмотрим относительное равновесие жидкости, наполняющей

сосуд в форме цилиндра (рис.1), который находится во вращении вокруг вертикальной оси, причем ось цилиндра и ось вращения совпадают. В этом случае под действием двух массовых сил -собственного веса и центробежной силы - жидкость находится по отношению к сосуду в относительном покое. Причем, ω - угловая скорость вращения сосуда постоянна. Будем также считать, что в момент τ = 0 жидкость, наполняющая цилиндр, находилась в покое на уровне z = h. Пренебрегая временем разгона, напишем уравнение относительного равновесия жидкости, свободная поверхность которой будет деформирована. Для частицы жидкости, в точке А, находящейся под воздействием центробежной силы mω ²r и силы тяжести mg, проекции ускорения массовых сил в прямоугольных осях координат будут равны:

r - расстояние от т. А до оси вращения,

Подставляя (3.2) в (3.1) имеем:

Выполняя интегрирование, получим:

Постоянную с найдем из следующих условий:

х = 0; у = 0; z = h; Р = Р_а,

где Р _а - атмосферное давление.

Тогда выражение (3.3) примет вид:

Неизвестную величину h определим из условия неизменяемости первоначального объема жидкости.

Если радиус цилиндра равен R, то этот объем равен:

где z =f(r, θ) - уравнение свободной поверхности при относительном равновесии. Полагая в выражении (3.4) Р = Р_а найдем:

Подставляя последнее выражение в интеграл (3.6) и имея в виду (3.5), находим:

Откуда

Устанавливаем формулу для подсчета величины давления в каждой точке вращения объема жидкости.

Из последней формулы получаем уравнение свободной поверхности. Так как на свободной поверхности Р = Ра, то из (3.9) имеем:

Как видно из уравнения (3.10), свободная поверхность представляет собой параболоид вращения.

Из формулы (3.10) при получаем наибольшее возвышение свободной.поверхности: