Баланса энергии для невязкой жидкости

В невязкой жидкости отсутствуют силы внутреннего трения и, следовательно, рассеивание энергии при движении, поэтому запас

энергии в единице массы движущейся жидкости по­стоянен. При движении кроме объемных и поверхностных сил в жидкости действуют и силы инер­ции. В соответствии с прин­ципом Даламбера для единицы массы жидкости уравнение движения может быть получено, если к проекциям массовых и поверхностных сил (2.3) прибавить с обратным знаком проекции сил инерции, отнесенные к единице массы

j = PJm:

Рис 14.1. Схема к выводу уравнения

Эйлера к проекциям массовых и

При установившемся движении

Подставив значения проекций j_x, j_y и j_z из систмемы (3.2), получим уравнения движения Эйлера:

(3.24)

Мерой движения жидкости является энергия, измеряющаяся работой, которую может совершить жидкость при торможении (кинетическая энергия), и работой, которую могут совершить мас­совые и поверхностные силы (потенциальная энергия) при пере­ходе от рассматриваемого положения в пространстве к нулевому (для последнего потенциальная энергия условно считается равной нулю). Следовательно, для получения уравнения энергии необ­ходимо найти работу, которую могут совершить силы при пере­мещении массы на отрезок dl по линии тока.

(3.25)

Умножив члены уравнения (3.24) на массу m и проекцию dl на ось х (рис. 4.1), получим дифференциальное уравнение энер­гии в проекциях на ось х

Выразим в последнем слагаемом уравнения (3.24) проекцию перемещения dx через скорость и время dx = u_x dt и сделаем эле­ментарные преобразования

В уравнении (3.25) последнее слагаемое представляем в виде и по аналогии для других осей и

Сложив почленно эти уравнения, получим выражение для полной энергии

Так как выражение в скобках являются полными дифферен­циалами

из сис

то окончательно уравнение энергии будет

m (X dx + У dy + Z dz - dp - ) = 0. (3.26)

Все члены уравнения (4.3) имеют размерность энергии:

[ m (X dx + У dy + Z dz] =

единица в системе СИ — джоуль (Дж); 1 Дж = 1 Н -м.

В уравнение (3.25) входит величина перемещающейся массы т, которая может быть различной. Для получения общего выраже­ния, не зависящего от значения массы, полный запас энергии от­носят к единице массы, объема или силы тяжести.

Энергия, отнесенная к единице массы, называется удельной энергией е и широко используется при исследовании движения газов с переменной плотностью. Для получения удельной энергии разделим уравнение (3.26) на т:

(3.27)

Размерность всех членов этого уравнения: L²T², единица в си­стеме СИ - Дж/кг = м²/с² (квадрат скорости).

Исследуя движение газов, при котором можно считать р = const, удобно пользоваться энергией, отнесенной к единице объема, для чего уравнение (3.26) необходимо разделить на объем V. Масса, деленная на объем, дает плотность m/V = р и уравнение примет вид,

(3.28)

Размерность членов этого уравнения ML^-2Т ².

Все члены уравнения выражают давление, единица которого в системе СИ – Дж/м³ = Н/м² = Па.

Наиболее широко в гидравлике, особенно при исследовании движения капельных жидкостей, пользуются энергией, отнесен­ной к единице силы тяжести, для чего уравнение (3.26) необходимо разделить на mg. Тогда

(3.29)

Все члены уравнения имеют размерность длины L, называе­мой в гидравлике напором, единица которого в системе СИ -Дж/Н =м.

Напор выражается высотой в метрах столба движущейся жидкости.