Некоторые свойства операций над матрицами.

1. Сложение коммутативно (перестановочно), ассоциативно (можно расставлять скобки в произвольном порядке), дистрибутивно относительно умножения на число.

A+B=B+A-коммутативность

(A+B)+C=A(B+C)-ассоциативность

d(A+B)=dA+dB-дистрибутивность

(d+B)A=dA+BA-дистрибутивность

2.Умножение ассоциативно:

(A*B)*C=A*(B*C)

Свойство 9 Опр.

Опр.2Система уравнений вида:

называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

В системе " 1" все переменные входят в конце уравнение не более чем в первой степени.

-основная матрица системы

матрица-столбец неизвестных

-матрица-столбец свободных членов

Опр.2 Решить систему линейных уравнений означает найти все элементы матрицы ''Х'' или доказать, что их не существует.

Все преобразования проводятся только со строками.

12)На расширенную матрицу системы смотрят как на единую матрицу. Это означает, что все операции, проводимые над строками основной матрицы так же распространяются на соответствующие строки матрицы свободных членов.

3)Цель преобразование матриц:

Привести матрицу к треугольному или трапецеидальному виду.

Суть метода Гаусса:

1)Привести расширенную матрицу системы к треугольному виду.

2)Вернуться к системе уравнений и последовательно, начиная от последнего уравнения, выразить значения переменных.

Найденные значения подставлять в предыдущие уравнения, находя следующие значения переменных. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут вычислены все значения переменных.

Система линейных уравнений может иметь единственное решение, может не иметь решений, и может иметь бесконечное множество решений.

Опр3.Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система уравнений называется несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определённой, если она имеет одно решение.

Совместная система называется неопределённой, если она имеет бесконечное множество решений.

Система называется однородной, если столбец свободных членов является нулевой матрицей.

Однородные системы всегда совместны.

1)В геометрическом смысле под вектором понимается направленный отрезок (семейство параллельных отрезков, равных по длине и совпадающих по направлению).

А - начало вектора АВ

В - конец вектора АВ

Длиной вектора называется длина соответствующего параллельного отрезка.

.

Векторы называются - коллинеарными, если они лежат на параллельных или совпадающих прямых.

Если векторы при этом направлены в одну сторону, то их называют сонаправленными, в противном случае - противоположно направленными.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны между собой

Три вектора называется компланарными, если их можно расположить в одной

плоскости.

Линейные операции над векторами:

1) Сложение.

Сумма векторов есть вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго.

Данное правило сложения векторов называют правилом треугольников.

2) Умножение вектора на число

a) Результатом умножения вектора а на положительное число d будет вектор, сонаправленный

с вектором а, длина которого равна числу d, умноженному на длину вектора а.

b) результатом умножение вектора а на отрицательное число d будет вектор, противоположно направленный вектору a, длина которого отличается от длинны вектора d в модуль a раз.

3) Вычитание.

Для графического вычитание двух векторов их выпустить из одной точки при этом результате получится вектор, начало которого совпадает с концом второго вектора, а конец совпадает с концом первого вектора.

Замечание:

1) полезно помнить, что медиана треугольника является полусуммой сторон векторов, выходящих из точки

2)Диагонали параллелограмма являются суммой и разностью его сторон

Свойство линейных операций над векторами:

1)Сложение векторов коммутативно и ассоциативно

2)

3)

Среди векторов, особую роль играют единичные векторы (их длина равна 1), задающие направления координатных осей

Углом между векторами называется угол, образованный этими векторами, выпущенными из одной точки.

Координаты вектора это проекции данного вектора на каждую из осей координат

Длина вектора находится по формуле:

1)Два вектора равны, если соответствующие координаты одного вектора равны соответствующим координатам другого вектора

2)Два вектора противоположны, если соответствующие координаты одного вектора противоположны соответствующим координатам другого вектора

3) Для того, чтобы сложить два вектора, достаточно сложить соответствующие координаты.

4)Для того чтобы умножить вектора на число необходимо каждую координату умножить на это число

Часто векторы рассматривают в алгебраическом смысле в координатной форме.

В алгебраической форме векторы не привязаны к системе координат, и очень часто рассматривают векторы не только двух и трёх мерные систем, но и многомерных систем.

5)Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

Функция:

(соотношение и более одного элемента х называется однозначной функцией)

Одним из синонимов слова «функция» является отображение

Однако данное понятие не является близким по смыслу

Способы задание функции:

1.Перечень значений

2.Табличный

3.Описательный

4.Графический

5.Аналитаческий y(x)=f(x)

При задании аналитическим способом можно иметь одну формулу, а можно получить несколько.

В некоторых случаях из многоступенчатых перейти в одноступенчатую формулу нельзя.

Множество значений Х, на котором задаётся функция, называется областью определения функции.

Множество значений Y, для каждого из которых существует одно из значений Х, называется областью значений данной функции.

Множество точек плоскости описывающие функцию называется графиком функции.

Свойство функции:

1.

а) Если область определения функции симметрична относительно нуля и выполняется условие

f(-x)=f(x),

то функция называется чётной.

График этой функции симметричен относительно оси OY.

Для всех Х выполняется это функция.

б)Нечётная функция:

Функция называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля, и для всех Х из области определения выполняется условие f(-x)=-f(x)

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, которая не является ни чётной, ни нечётной, называется функцией общего вида.

2.

Функция называется периодической, если для любого Х из области определения выполняется равенство f(x+T)=f(x), для некоторого T> 0.

При этом Т – называется периодом функции, наименьшее из таких чисел называется периодом (обозначается T_o)

Замечание:

Как правило, говоря о периодической функции, рассматривают наименьший положительный период в качестве основного.