Формула Дюпюи

При плоскорадиальном движении векторы скорости фильт­рации направлены по радиусам к оси скважины, поэтому дав­ление и скорость фильтрации зависят только от одной коор­динаты r. При этом во всех горизонтальных плоскостях поле скоростей и давлений будет одинаковым.

Примером плоскорадиального фильтрационного потока яв­ляется приток к гидродинамически совершенной скважине, покрывшей горизонтальный пласт бесконечной протяженности на всю мощность h и сообщающейся с пластом через пол­ностью открытую боковую поверхность цилиндра, отделяющую cтвол скважины от продуктивного пласта.

Поток будет также плоскорадиальным при притоке к со­вершенной скважине радиуса r_с (или оттоке от скважины), расположенной в центре ограниченного горизонтального цилиндрического пласта мощностью h и радиусом R_K (рис. 7).

Если на внешней границе пласта, совпадающей с контуром литания, поддерживается постоянное давление р_к, а на забое скважины постоянное давление p_с, пласт однороден по пори­стости и проницаемости, фильтрация происходит по закону Дарси, то объемный дебит скважины определится по формуле Дюпюи:

(III.4)

где μ — динамический коэффициент вязкости.

Закон распределения давления определяется по одной из формул:

(III.5)

либо

(III.6)

либо

(III.7)

Линия р=р(r) называется депрессионной кривой дав­ления. Характерно, что при при­ближении к скважине градиенты давления и скорости фильтрации резко возрастают. При построении карты изобар следует учитывать, что радиусы изобар изменяются в геометрической прогрессии, в то время, как давление на изобарах изменяется арифметической прогрессии.

Индикаторная линия — зависимость дебита скважины от депрессии Δ р = р_к—р_с, при притоке к скважине в условиях справедливости закона Дарси представляет собой прямую ли­нию, определяемую уравнением Q=K Δ p.

Коэффициент продуктивности

(III.8)

численно равен дебиту при депрессии, равной единице.

Закон движения частиц вдоль линии тока, если при t = 0 частица находилась в точке с координатой r = r₀, описывается уравнением

(III.9)

или

(III.9a)

Средневзвешенное по объему порового пространства Ω пластовое давление

где

Подставляя выражение для p (III.5), выполняя интегрирование и пренебрегая всеми членами, содержащими r_c², полу­чим

(III.11)

Закон распределения давления и формула дебита при на­рушении закона Дарси при притоке к совершенной скважине получаются из двучленной формулы

(III.12)

Подставляя выражение для скорости фильтрации

w = Q/2π rh

в(III.12) и разделяя переменные, получим

(III.13)

Интегрируя по р в пределах от р_с до р_к и по r в пределах от r_с до R_k будем иметь

(III.14)

Решая полученное квадратное уравнение, находим дебит скважины Q. Интегрируя (III.13) по р в пределах от р до р_к и по r в пределах от r до R_к, найдем закон распределения давления

(III.15)

Как видно из (III.14), индикаторная линия при нарушении закона Дарси является параболой.

Если фильтрация происходит по закону Краснопольского, то дебит определяется по формуле

(III. 16)

7 JOGAP