Теоритиеский минимум

1. Абелева группа - группа с коммутативной операцией называется абелевой или коммутативной.

2. Автоморфизм – изоморфное отображение группы на себя.

3. Аддитивная группа - группа в которой выполняется операция сложения, и нейтральный элемент – 0.

4. Алгебраическая замкнутость поля - поле Р наз-ся алгебраически замкнутым если любой многочлен f(x) P[x] степени n> =1 обладает в Р хотя бы одним корнем.

5. Алгебраической линией (поверхностью) наз-ся линия в АСК определяемая уравнением F(x, y)=0 (F(x, y, z)=0) (алг. многочлен).

6. Аргумент комплексного числа – наз-ся угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус вектором точки М отсчитывемый от оси абсцисс в любом направлении при этом положительным считается направление против часовой стрелки.

7. Арифметическое пространство - множество всевозможных упорядоченных наборов n действительных чисел, называемых арифметическими векторами.

8. Аффинная система координат - Если в пространстве V3 зафиксирована точка О и базис е1, е2, е3 то зад в АСК.

9. Базисный минор – если rgA=r то любой минор r-ого порядка этой матрицы наз-ся базисным.

10. Базисом линейного пространства наз-ся упорядоченная линейно зависимая система векторов пространства, через которую линейно выражается любой вектор пространства.

11. Бесконечномерное линейное пространство если для любого натурального k в нем найдется л/н система из к векторов.

12. Биективное отображение Хà Y если оно инъективно и сюръективно (если f(x)=y при любом у из Y един. решение).

13. Бинарное отношение - говорят что на множестве Х задано бинарное отношение R если указано непустое подмножество R декартова квадрата этого множества.

14. Векторное пространство - линейное пространство.

15. Векторным произведением ненулевых векторов a, b наз-ся вектор c такой, что |c|=|a||b|sin(a, b), c ортогонален каждому из векторов a и b, и если с< > 0 то с направлен так что упорядоченная тройка a, b, c-правая.

16. Вещественное линейное пространство - линейное пространство над полем R.

17. Вещественное линейное пространство - непустое множество V наз-ся вещественным линейным пространством если на нем заданы два закона композиции, внутр. закон подчиненный аксиомам a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c), a+0=a, a+(-a)=0; внеш. закон подчиненный аксиомам 1*a=a, (QW)a=Q(Wa); и оба закона подчинены аксиомам (Q+W)a=Qa+Wa, (a+b)Q=Qa+Qb.

18. Внешним законом композиции на множестве Х наз-ся отображение (точка): Р× Хà X т.е закон посредством которого любому элементу из множества Р и любому элементу из множества Х ставится в соответствие однозначно определенный элемент с множества Х.

19. Внутренним законом композиции (алгебраическая операция) на множестве Х наз-ся отображение *: Х× Хà X т.е закон посредством которого любой упорядоченной паре элементов множества Х ставятся в соответствие однозначно определенный элемент с множества Х.

20. Гиперболой называется геометрическое место точек М плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний от двух фиксированных точек F1 и F2 плоскости есть постоянное положительное число, меньшее чем расстояние между F1 и F2.

21. Гомоморфизм - две группы G1 и G2 c операциями *1 и *2 называют гомоморфными если существует сюръективное отображение f: G1à G2 сохраняющее групповую операцию, само отображение – гомоморфизм.

22. Группа (абстракция множества) – непустое множество G с заданной на нем алгебраической операцией * наз-ся группой если 1)операция ассоциативна (а*b)*c=a*(b*c) для a, b, c из G 2)операция обладает нейтральным элементом e из G: a*e=e*a=a для любого а из G 3)для любого элемента а из G существует симметричный элемент а’ из G: a*a’=e.

23. Группа вычетов по модулю P – мнржество классов вычеством по модулю p.

24. Декартовый квадрат - декартово произведение Х× Х.

25. Декартовым произведением множеств X и Y наз-ся множество всевозможных упорядоченных пар (x, y) в которых х из Х а у из Y.

26. Изоморфизм –две группы G1 и G2 с операциями *1 и *2 называют изоморфными если биективное отображение f: G1à G2 которое сохраняет групповую операцию т.е. f(a*1b)=f(a)*2f(b) для любого a, b из G1.Само отображение и есть изоморфизм.

27. Изоморфизм колец(полей) - два кольца К и К’ наз-ся изоморфными если существует биективное отображение f: Кà К’ (соответственно f: Pà P’) сохраняющее операции f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b) для .

28. Инверсия, порядок - если i> j xi< xj это инверсия, порядок в противном случае.

29. Инъективное отображение Хà Y если f(x)=y при любом у из Y имеет не более одного решения.

30. Класс эквиваленции - множество всевозможных элементов х из Х, эквивалентных а (из Х), наз-ся классом эквивалентности порожденным элементом а.

31. Коллинеарные (компланарные) напр. отр. – напр. отр. колл-ны (компл-ны) если существует прямая (плоскость) которой параллелен каждый из этих отрезков.

32. Кольцо (аддитивная абелева группа) - непустое множество K наделенное двумя алгебраическими операциями – сложением и умножением если эти операции удовлетворяют следующим аксиомам: а, b, c K 1)a+b=b+a 2)(a+b)+c=a+(b+c) 3) a+0=0+a=a 4) ^ a+(-a)=0 5)(ab)c=a(bc) 6) (a+b)c=ab+bc.

33. Кольцо вычетов по модулю р – конечное коммутативное кольцо с единицей которое имеет делители нуля если р – составное число.

34. Кольцо с единицей - если операция умножения обладает нейтральным элементом.

35. Коммутативное кольцо – если умножение в нем коммутативно.

36. Комплексная плоскость – плоскость точками которой изображаются комплексные числа наз-ся комплексной плоскостью ее ось абсцисс – вещественной осью, осью ординат – мнимой осью.

37. Комплексное линейное пространство – линейное пространство над полем С.

38. Комплексные числа - комплексными числами называются упорядоченные пары (a, b) вещественных чисел для которых понятия равенства, суммы, произведения, и отождествления с вещественными числами вводятся согласно следующим правилам 1)(a, b)=(c, d)ó a=c b=d 2)(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d) 3)(a, b)*(c, d)=(ac-bd, ad+bc) 4)пара (а, 0) отождествляется с действительным числом а

39. Конечная группа – группа состоящая из конечного числа элементов.

40. Конечное поле - конечная аддитивная группа при этом характеристика поля р> =1.

41. Конечномерное линейное пространство - любое n-мерное пространство.

42. Корень n-ой степени из комлпексного числа – наз-ся число а такое что = z/

43. Критерий группы - множество G с ассоциативной алгебраической операцией является группой т. и т.т.к. эта операция обладает обратной.

44. Критерий единственности решения СЛАУ - СЛАУ с n неизвестными имеет единственное решение т. и т.т.к. ранг расширенной матрицы равен рангу исходной и равен n.

45. Критерий коллинеарности - Векторы а и b коллинеарны т.и т.т.к. [a, b]=0.

46. Критерий компланарности - Векторы a, b, c компланарны т. И т.т.к. (a, b, c)=0.

47. Критерий лз - система векторов лз т. и т.т.к. хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через другие.

48. Критерий линейного подпространства - непустое подмножество L пространства V является линейным подпространством этого пространства т.и т.т.к. имеют место следующие импликации a, b из L à a+b из L; a из L и b из Rà ab из L.

49. Критерий лнз - система векторов лнз т и т.т.к. любой вектор являющийся л/к этих векторов имеет единственное разложение по этим векторам.

50. Критерий нормального делителя - подгруппа Н группы G является нормальным делителем т.и т.т.к. она вместе с каждым элементом содержит все сопряженные с ним элементы.

51. Критерий обратимости - Отображение обратимо т.и т.т.к. оно биективно.

52. Критерий обратимости матрицы - Матрица обратима т.и т.т.к. она не вырождена.

53. Критерий ортогональности матрицы - Матрица перехода от ортонормированного базиса е к е1 ортогонально т. и т.т.к. е1 ортонормированный базис.

54. Критерий параллельности вектора прямой (плоскости) - В аффинной системе координат Oxy на плоскости (Оxyz пространстве) вектор а={m, n} (a={m, n, k}) параллелен прямой (плоскости) заданной общим уравнением т. и т.к. Am+Bn=0(Am+Bn+Ck=0).

55. Критерий подгруппы - Подмножество H группы G является подгруппой этой группы т.и т.т.к. имеют место следующие импликации 1)а, b из H à ab из H 2)a из Н à a-1 из Н.

56. Критерий эквивалентности – Две матрицы одинакового размера эквивалентны т. и т.т.к. их ранги совпадают.

57. Левый смежный класс (правый смежный класс) – пусть Н подгруппа группа G а элемент а - элемент группы G. Множество аН наз-ся левым смежным классом группы G по подгруппе Н порожденным элементом а, а множество На правым смежным классом.

58. Лемма Даламбера - Если f(x) многочлен степени n> =1 b f(z0)< > 0 то найдется число z1 такое что |f(z1)|< f(z0)|.

59. Лемма Шаля – При любом расположении точек А, В, и С на прямой имеет место равенство .

60. Лз и лнз система векторов - если существует нетривиальная лин. комб. этих векторов равная нулевому вектору - лз, лнз в противном случае.

61. Линейно аффинное многообразие - пусть V - линейное пространство, L - некоторое его подпространство, - некоторый вектор пространства V.Множество H всевозможных векторов вида где из L наз-ся линейным аффинным многообразием, полученным сдвигом пространства L на вектор .

62. Линейное (векторное) пространство над полем - непустое множество V наз-ся линейным пространством над полем Р если на нем определены внутренний закон композиции V× Và V - сложение и внешний закон композиции Р× Và V -умножение на число из поля Р удовлетворяющие следующим аксиомам для 1) a+b=b+a 2)(a+b)+c=a+(b+c) 3) : a+0=0+a=a 4) a+(-a)=-a+a=0 5)1*a=a 6)d(ea)=(de)a 7)(d+e)a=ad+ae 8)d(a+b)=da+db.

63. Линейное подпространство - непустое подмножество L пространства V наз-ся линейным подпространством пространства V если оно само является линейным пространством относительно законов композиции действующих в V.

64. Матрица - матрицей размера m× n называется совокупность mn чисел, записанных в виде прямоуг. табл. из m стр. и n стб.

65. Многочленом (полиномом) n-ой степени от переменной х над полем Р наз-ся выражение а0+а1х+а2 +..+аn где ai, i - фиксированные числа из поля Р и аn< > 0.

66. Множество - совокупность объектов называемых элементами множества.

67. Модуль комплексного числа - r= .

68. Мультипликативная группа - группа в которой выполняется операция умножения, нейтральный элемент 1.

69. Направленный отрезок - упорядоченная пара точек (А, В) с началом в точке А и концом в точке В.

70. Натуральная перестановка – 1, 2, …, n.

71. Невырожденная матрица - Квадратная матрица А наз-ся невырожденной если |A|< > 0.

72. Нормальный делитель – подгруппа Н группы G если для любого элемента а из G aH=Ha т.е. любой левый (правый) смежный класс одновременно является правым(левым) смежным классом.

73. Обобщенный закон ассоциативности - если алгебраическая операция * на множестве Х ассоциативна то результат ее применения к n элементам не зависит от расстановки скобок лишь бы скобки объединяли пары элементов указывая на порядок последовательного применения операции к двум элементам.

74. Обратная матрица - матрица наз-ся обратной к А если А* =I.

75. Обратное отображение - Пусть f: Xà Y. Отображением : Yà X наз-ся обратным к отображению f если f = и f = .

76. Объединением множеств - называют множество всех элементов которые принадлежат хотя бы одному из множеств.

77. Одинаково ориентированные базисы - Два базиса называются одинаково ориентированными если матрица перехода имеет положительный определитель (в противном случае противоположно ориент-на).

78. Определенная СЛАУ - если она имеет единственное решение, неопределенная - если более одного решения.

79. Определитель – сумма всевозможных произведений элементов матрицы взятых по одному из каждой стр и каждого стб.причем если сомножители в произведении упорядочены в порядке возрастания номеров строк, то оно берется со знаком .

80. Ориентированное пространство - вещественное линейное пространство с выбранной на нем ориентацией.

81. Ортогональная матрица - вещественная матрица С наз-ся ортогональной если = =I.

82. Ортогональные векторы - если (a, b)=0.

83. Ортонормированный базис – базис е1..еn наз-ся ортон-ым если вектора имеют единичную длину и попарно перпендикулярны.

84. Отношение эквивалентности - бинарное отношение E на множестве Х наз-ся отношением эквивалентности если оно рефлексивно симметрично и транзитивно.

85. Отображением f множества Х во множество Y наз-ся закон посредством которого произвольному элементу х из X ставится в соответствие однозначно определенный элемент у из Y, при этом элемент у наз-ся образом элемента х, а элемент х прообразом у.

86. Параболой называется геометрическое место точек плоскости для которых расстояние от некоторой фиксированной точки f плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой d не проходящей через точку F.

87. Первообразные корни - корень наз-ся первообразным корнем n-ой степени из единицы если он является корнем из единицы никакой меньшей степени чем n.

88. Пересечением множеств наз-ся множество всех элементов одновременно принадлежащих обоим множествам.

89. Перестановка – упорядочення совокупность чисел а1, а2, …, аn в которой ai принадлежит {1, 2, …, n} i=1, n, ai< > aj при j< > i.

90. Перестановочные (коммутирующие) матрицы – для которых AB=BA.

91. Подгруппа - непустое подмножество H группы G называется подгруппой G если оно само является группой относительно алгебраической операции в G.

92. Подкольцо (Расширение кольца) - подкольцом кольца К наз-ся подмножество F этого кольца которое само является кольцом относительно операций определенных в К. K – расширение кольца F.

93. Подмножество - множество S наз-ся подмножеством X если имеют место следующие импликации х из S à x из Х

94. Подполе (расширение поля) – Подмножество F поля P наз-ся подполем поля Р если оно само является полем относительно операций определенных в Р.Р является расширением поля F.

95. Поле - полем наз-ся коммутативное кольцо с единицей содержащее не менее двух элементов в котором каждый отличный от нуля элемент имеет обратный элемент.

96. Поле вычетов - если p – простое число, то кольцо вычетов Zp по модулю p образует поле характеристики p.

97. Порядок группы - число ее элементов.

98. Правая тройка - упорядоченная пару(тройку) неколлинеарных (некомпланарных) векторов е1, е2(е3) плоскости (пространства) если кратчайший поворот от е1 к е2 выполняется против часовой стрелки (если из конца вектор е3 кратчайший поворот от е1 к е2 виден совершающимся против часовой стрелки), в противном случае случае тройка левая.

99. Правило Крамера - i-е решение равно отношению определителя полученного путем замены i-го столбца на столбец свободных членов к определителю исходной матрицы.

100. Пучок плоскостей с осью l -множество всех плоскостей пространства проходящих чрез прямую l.

101. Пучок прямых с центром в - Множество всех прямых плоскости проходящих через данную точку .

102. Равенство определителя нулю (необх. усл.) - определитель матрицы равен нулю т. и т.т.к. какая-либо ее стр. (стб.) является лин. комб. других ее стр. (стб.).

103. Равные множества - два мн-ва наз-ся равными, если каждый из них является подмножеством друг друга.

104. Размерность базиса - число векторов базиса.

105. Разностью множеств наз-ся множество всех элементов из первого которые не содержатся во втором.

106. Ранг произведения матриц не превосходит ранга сомножителей

107. Рангом ненулевой матрицы наз-ся максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы.

108. Рефлексивное бинарное отношение - если xRx, для любого х из Х.

109. Свободный вектор – класс эквивалентности направленных отрезков (коллинеарность, компланарность, длина, сонаправленность относительно порождающих их направленных отрезков).

110. Свойство линейности проекций – Проекция вектора на прямую и плоскость обладают свойством линейности.

111. Симметрическая группа n-ого порядка – мультипликативная группа образованная множеством всех подстановок n-ого порядка как множество всех биективных отображений множеств на себя, порядок группы равен n!

112. Симметрические многочлены - многочлены от переменных с1…сn которые не меняются ни при какой перестановке корней с1…cn.

113. Симметричное бинарное отношение если имеет место импликация xRyà yRx.

114. Система векторов Линейного пространства является базисом т.и т.т.к. она образует максимальную лнз систему векторов этого пространства.

115. Скалярное произведение - Скалярным произведение ненулевых векторов a и b наз-ся число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

116. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение.

117. Смешанным произведением векторов a, b, c наз-ся число равное скалярному произведению векторного произведения a и b на вектор с.

118. Совместная СЛАУ - если она имеет хотя бы 1 решение, несовместная - если не имеет ни одного решения.

119. Сопряженные элементы - элементы а и b группы G если существует элемент с из G такой что а= bc.

120. Степень элемента - = 1)aaa…aaa при n> 0 2)1 n=0 3) , m=-n, n< 0.

121. Сюръективное отображение Хà Y если f(x)=y при любом у из Y имеет хотя бы одно решение.

122. Теорема Безу – Остаток от деления многочлена f(x) на х-с равен f(c).

123. Теорема Кронкера-Капелии (критерий совместности) - СЛАУ совместна т.и т.т.к. ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

124. Теорема Кэли – любая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок на множестве своих элементов.

125. Теорема Лагранжа - во всякой конечной группе порядок ее подгруппы является делителем порядка самой группы.

126. Теорема Лапласа – Пусть A=() квадратная, и k принадлежит N, 1< =k< =n-1.Пусть в матрице А выбраны произвольные К стр. (стб.), тогда определитель матрицы А будет равен сумме всевозможных произведений миноров k-ого порядка, расположенных в выбранных стр. (стб.) на их алгебраические дополнения.

127. Теорема Множество всех реш-й неодн. СЛАУ является линейным многообразием, полученным сдвигом подпространства решений приведенной однородной системы на частное решение неоднородной системы.

128. Теорема о базисном миноре - Базисные стр. (стб.) лнз. Любая стр. (стб.) является лин. комб. базисных стр.(стб.).

129. Теорема о единственности обратной матрицы - Если А квадртаная матр и АВ=I то B=

130. Теорема о каноническом разложении многлчена над полем С – для любого многочлена f(x) = степени n> =1 существуют числа с1, с2, …, сm C где ci< > cj при i< > j и числа k1, k2,.., km N где k1+k2+..km=n такие что f(z)=an … Это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей.

131. Теорема о каночиском разложении многочлена над вещественным полем R – для любого многочлена f(x)= степени n≥ 1 существуют числа c1, …, cr , где ci при i j; числа p1, q1, …ps, qs ult (pi, qi) (pj, qj) при i j; числа k1, …, kr и l1, …, ls , где , такие, что

132. Теорема о комплексных числах – множество всех комплексных чисел является полем.

133. Теорема о линейном подпрстанстве арифм. пространства - Множество всех решений однородной системы Ax=0 с n неизвестными является линейным подпространством арифметического пространства.

134. Теорема о множестве многочленов – Множество всех многочленов Р[x] над полем Р является коммутативным кольцом с единицей и без делителей нуля, (так же линейным пространством над полем Р).

135. Теорема о смешанном произведении – смеш. пр-е некомпл. векторов a, b, c равно по абсолютной величине объему паралелепипипда построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c (+v если a, b, c правая тройка).

136. Теорема о фальшивом разложении определителя – Сумма произведений элементов одной стр. (стб.) матрицы на алгебр. доп-я к элементам другой ее стр. (стб.) равна нулю.

137. Теорема об инвариантности порядка - При переходе от одной аффинной системы координат к другой алгебраическая линия (поверхность) остается алгебраической и порядок ее не изменится.

138. Теорема об ориентированности -Отношение одинаковой ориентированности является отношением эквивалентности на множестве всех базисов пространства V.

139. Теорема Основная теорема алгебры – Поле С комплексных чисел алгебраически замкнуто.

140. Теорема подгруппы циклической группы – любая подгруппа циклической группы {a} является циклической.

141. Теорема. Для любой пары ненулевых многочленов f(x), g(x) P[x] существует наибольший общий делитель. Он определен однозначно с точностью до множителя нулевой степени.

142. Транзитивное бинарное отношение если имеет место импликация xRy, yRzà xRz.

143. Транспозиция – преобразование перестановки при котором два ее числа ai и aj меняются местами i< > j.

144. Транспонированная матрица - Вращение в пространстве на 180°.

145. Тривиальная лин. комб. векторов - если все коэффициенты лин. комб. равны нулю (нетривиальная в противном случае).

146. Фактор группа – группа смежных классов группы G по нормальному делителю Н наз-ся фактор группой группы G по подгруппе Н.

147. Фактор множества X - множество всех классов эквиваленции по отношению эквивалентности E X|E.

148. Формула Виета если с1, с2, …, сn- корни многочлена f(z)= то =-(c1+c2+…+cn) … …. = (-1)c1c2c3…cn.

149. Формула Муавра .

150. Фундаментальная система решений - произвольный базис подпространства решений однородной системы линейных уравнений.

151. Характеристика поля – существуют поля в которых некоторое целое кратное 1 т.е. n1=1+…1 (n слагаемых) равно нулю.Натуральное число n обладающее этим свойством наз-ся характеристикой поля.

152. Циклическая группа - группа {a} порожденная элементом а при этом элемент а наз-ся образующим элементом группы {a}.

153. Четная (нечетная) перестановка – перестановка с четным (нечетным) количеством инверсий.

154. Число арифметических операций в методе гаусса - по объему вычислений равносильно вычислению одного определителя.

155. Число элементов в конечном поле – в конечном поле число элементов n имеет вид n= , где р – простое, m-натуральное число.

156. Эквивалентные матрицы -две матрицы A и B размера m× n наз-ся эквивалентными если существуют невырожденные матрицы P и Q такие что A=PBQ.

157. Эквивалетность СЛАУ - две СЛАУ с одинаковым числом неизвестных наз-ся эквивалентными если множества решений этих систем совпадают.

158. Элемент бесконечного (конечного) порядка - если все степени а различны то а наз-ся элементом бесконечного порядка, в противном случае элементом конечного порядка.

159. Элементарные преобразования матрицы – перестановка 2-х стр. (стб.), умножение стр. (стб.) матрицы на число отличное от нуля, прибавление к одной стр. или стб. матрицы другой ее стр. (стб.) умноженной на любое число.

160. Элементы линейного пространства наз-ся векторами.

161. Элипсом называется геометрическое место точек М плоскости, для которых сумма расстояний от 2-х фиксированных точку F1 и F2 плоскости етсь постоянное число большее чем расстояние между F1 и F2.

162. Ядро гомоморфизма – множество ker{a G|f(a)= } e’-единица группы G.