Измерение сопротивлений при помощи мостовой схемы

Принадлежности: источник постоянного тока, три магазина сопротивлений, два резистора с неизвестным сопротивлением, нуль-гальванометр, ключ, соединительные провода.

Краткая теория. Ток в металлическом проводнике согласно закону Ома пропорционален приложенному к проводнику напряжению (при условии, что температура проводника остается постоянной):

.

(1)

Коэффициент пропорциональности есть электропроводность (или проводимость) проводника, – электрическое сопротивление.

В металлических проводниках электропроводность обусловлена наличием свободных электронов (электронов проводимости). По современным воззрениям такого рода электронами являются валентные электроны атомов металла, наиболее слабо связанные с ядрами атомов. Вещества, которые хорошо проводят электрический ток лишь при определенных условиях, составляют группу полупроводников. Плохой проводимостью обладают диэлектрики: их проводимость в раз ниже электропроводности проводников.

Электрическое сопротивление зависит от рода вещества проводника, от его геометрических размеров и формы, а также от состояния (например, температуры). Для проводников цилиндрической формы постоянного поперечного сечения эта зависимость наиболее проста:

,

(2)

где – удельное сопротивление, – длина проводника.

Величина называется удельной электропроводностью. Значение удельного сопротивления для различных веществ дается в таблицах. В зависимости от температуры изменяется по закону:

.

(3)

Здесь – удельное сопротивление при , – температурный коэффициент сопротивления данного вещества ( показывает относительное приращение сопротивления при увеличении температуры на ):

.

Существуют различные способы измерения сопротивлений. Простейшим из них является измерение при помощи амперметра и вольтметра (рис. 1) непосредственно силы тока , протекающего через неизвестное сопротивление, и падения напряжения на нем . Величина сопротивления находится из закона Ома для участка цепи (1):

.

Более точно измерить сопротивление можно при помощи мостовой схемы.

В случае, когда электрическая цепь состоит из большого числа соединенных между собой резисторов, но имеет при этом один источник тока, ее можно упростить, исходя из правил расчета сопротивлений при их последовательном и параллельном соединении. В конечном счете, получается схема, подобная рис. 1, и расчет ведется по закону Ома для замкнутой цепи.

Если схема содержит не один источник тока (рис. 3) или собрана в виде моста (рис. 4), использование закона Ома невозможно, однако расчет можно выполнить, если воспользоваться правилами Кирхгофа. Этих правил два.

Рис. 1

Рис. 2

Первое правило Кирхгофа касается узлов цепи (узлом называется точка, в которой сходится более чем два проводника, рис. 2) и гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

.

(4)

Справедливость этого утверждения вытекает из следующих соображений. Если бы алгебраическая сумма токов была отлична от нуля, в узле происходило бы накапливание или уменьшение заряда, что в свою очередь приводило бы к изменению потенциала узла и изменению текущих в цепи токов. Таким образом, чтобы токи в цепи были постоянными, должно выполняться условие (4).

При этом ток, текущий к узлу, считается имеющим один знак (например, плюс), ток, текущий от узла – другой знак. Уравнение (4) можно написать для каждого из узлов цепи. Однако независимыми являются только уравнений, т.к. -е уравнение будет следствием из остальных.

Рис. 3

Применим правила Кирхгофа к схеме рис. 3. В различных участках цепи протекают неизвестные токи , и . Условно выберем их направление, как показано на рисунке. Поскольку в схеме имеется два узла, и , по первому правилу Кирхгофа следует записать только одно уравнение. Так, для узла уравнение будет иметь вид:

.

(5)

В уравнении (5) номера токов соответствуют номерам сопротивлений, через которые эти токи текут, и входящие в узел токи считаются положительными.

По второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма падений напряжений на участках замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, включенных в этот контур:

.

(6)

Чтобы записать уравнения по второму правилу, необходимо выделить независимые контуры и задать направление их обхода (на рис.3 направление обхода контуров и отмечено стрелками вокруг римских цифр). Правила знаков заключаются в следующем. Если направление обхода контура совпадает с направлением тока на участке цепи, падение напряжения на этом участке будем считать положительным, если нет – отрицательным. Если ток на участке цепи, содержащей ЭДС, совпадает с направлением тока внутри самого источника (ток внутри источника всегда направлен от минуса к плюсу), то ЭДС запишется со знаком " +", если нет – со знаком " –".

Для контуров и (рис. 3) уравнения будут иметь вид:

, .

(7)

Уравнения могут быть составлены для всех замкнутых контуров, которые можно выделить в конкретной разветвленной цепи. Но независимыми будут уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга. В рассмотренной на рис. 3 схеме третий контур получается наложением первых двух.

Направления обхода в каждом из контуров можно выбирать совершенно произвольно и независимо от выбора направлений в других контурах. При этом может случиться, что один и тот же ток либо одна и та же ЭДС войдет в разные уравнения с различными знаками. Это, однако, не имеет никакого значения, потому что изменение направления обхода вызывает лишь изменение всех знаков в уравнении на противоположные.

Рис.4

Составляя уравнения, следует помнить, что через любую ветвь цепи течет только один ток (под ветвью понимается участок цепи между двумя узлами). Число независимых уравнений, составляемых в соответствии с правилами Кирхгофа, оказывается равным числу токов, текущих в различных ветвях разветвленной цепи. Поэтому, если заданы ЭДС и сопротивления для всех неразветвленных участков, то могут быть вычислены все токи. Схема на рис.3 имеет три тока, поэтому для решения достаточно системы, состоящей из уравнений (6) и (7).

Мостовая схема представляет собой замкнутый четырехугольник (рис. 4), составленный из сопротивлений , , и , соединенных между собой проводниками. В одну из диагоналей схемы через ключ подключается источник тока с ЭДС и внутренним сопротивлением . В другую диагональ включается чувствительный нуль-гальванометр с сопротивлением .

Используя правила Кирхгофа, запишем систему уравнений для выделенных узлов и контуров неуравновешенного () моста (в силу его малости сопротивлением можно пренебречь):

: , : , : , : , : , : .

(8)

Схема (рис. 4) содержит шесть независимых токов (шесть ветвей), для нахождения которых достаточно системы уравнений (8).

Сопротивления , , и можно подобрать так, что тока в цепи гальванометра не будет. В этом случае, т.е. при , мост сопротивлений называется уравновешенным. При этом система (8) упрощается, и для нахождения неизвестного сопротивления достаточно уравнений:

, , , .

(9)

Из (9) легко найти соотношение:

.

(10)

Если известны значения трех сопротивлений, например, , и , то в отсутствие тока в цепи гальванометра неизвестное сопротивление можно определить по формуле:

.

(11)

В качестве неизвестного сопротивления в работе используется резистор, роль сопротивлений , и играют магазины сопротивлений.