Контрольная работа №1. 2. Вычислить определители: а) Б).

СЕМЕСТР 1

Вариант 1

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

3. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2; –1; 1), b = (–1; 2; 1), c = (1; 3; 1), d = (–1; –2; 3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a–b)(3 a +4 b), б) |(2 a–b) ´ (3 a +4 b)|,

где | a |=2, | b |=3, a^b =p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (1; 3; 3), B (–1; 2; –2), C (0; –1; 3), D (2; 1; 0).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 2sin(2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–5; 0) и F ₂(3; 0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 16 x ²–9 y ²–64 x –54 y –161=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 2

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2; 4; 2), b = (–1; –2; –2), c = (3; 5; 1), d = (3; 5; –1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a– 3 b)(2 a + b), б) |(a– 3 b) ´ (2 a + b)|,

где | a |=4, | b |=2, a^b =2p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (3; 2; 1), B (1; –2; 3), C (0; –1; 4), D (2; 1; 0).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 2(1+sinj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–3; 0) и F ₂(7; 0) есть величина постоянная и равна p =6. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 4 x ²+5 y ²+24 x +30 y +61=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 3

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2; 2; 3), b = (5; 1; 2), c = (–1; –3; –2), d = (8; 0; 1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a+ 2 b)(b– 3 a), б) |(a+ 2 b) ´ (b– 3 a)|,

где | a |=2, | b |=3, a^b =p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2; –1; 1), B (5; 5; 4), C (3; 2; –1), D (4; 1; 3).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 2(1+sinj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–4; 0) и F ₂(2; 0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 5 x ²–3 y ²–10 x –18 y –37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 4

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1; 0; 1), b = (0; –2; 1), c = (1; 3; 0), d = (8; 9; 4).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a+b)(a– 3 b), б) |(2 a+b) ´ (a– 3 b)|,

где | a |=3, | b |=4, a^b =p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2; -1; 2), B (1; 2; -1), C (3; 2; 1), D (4; 2; 3).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 2(1+cos2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7; 0) и F ₂(13; 0) есть величина постоянная и равна p =16. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 36 x ²+49 y ²+72 x –196 y –1442=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 5

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1; 1; 0), b = (–4; 3; 2), c = (–1; 2; 1), d = (1; –1; –1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a+ 3 b)(b– 3 a), б) |(2 a+ 3 b) ´ (b– 3 a)|,

где | a |=6, | b |=2, a^b =p/6..

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2; 1; 4), B (–1; 5; 2), C (3; 3; 2), D (–1; 4; 3).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 3(2–cos2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–6; 0) и F ₂(2; 0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 5 x ²–4 y ²+30 x +8 y +21=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 6

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (5; 4; 1), b = (–3; 5; 2), c = (2; –1; 3), d = (7; 23; 4).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a– 3 b)(a– 2 b), б) |(2 a– 3 b) ´ (a– 2 b)|,

где | a |=4, | b |=3, a^b =p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2; 3; 1), B (4; 1; -2), C (6; 3; 3), D (5; 4; 3).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 3(2–cos2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–4; 0) и F ₂(6; 0) есть величина постоянная и равна p =8. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 9 x ²+16 y ²+18 x –64 y –64=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 7

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2; 1; 0), b = (1; 0; 1), c = (4; 2; 1), d = (3; 1; 3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a–b)(a+ 3 b), б) |(2 a–b) ´ (a+ 3 b)|,

где | a |=4, | b |=1, a^b =2p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (4; 5; –3), B (6; 5; –4), C (3; 2; 0), D (6; 3; –3).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 2sin(4j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–5; 0) и F ₂(3; 0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 3 x ²–5 y ²+18 x +10 y +37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 8

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (3; –1; 2), b = (–2; 3; 1), c = (4; –5; –3), d = (–3; 2; –3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (4 a–b)(a +2 b), б) |(4 a–b) ´ (a +2 b)|,

где | a |=3, | b |=2, a^b =p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (1; 2; 0), B (3; 0; 3), C (5; 2; 6), D (4; 4; 4).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 2cos(3j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–11; 0) и F ₂(9; 0) есть величина постоянная и равна p =12. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 4 x ²+5 y ²–8 x+ 20 y+ 4=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 9

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2; 2; 3), b = (3; 1; 2), c = (1; 3; 1), d = (4; 0; 1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a– 3 b)(a+ 2 b), б) |(2 a– 3 b) ´ (a+ 2 b)|,

где | a |=5, | b |=2, a^b =3p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2; 0; 4), B (–1; 3; -1), C (1; 3; –3), D (3; 5; 0).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 3cos(4j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–4; 0) и F ₂(2; 0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 9 x ²–4 y ²–72 x –16 y +96=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 10

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (–3; 1; 4), b = (–1; 5; 4), c = (–1; 1; 6), d = (0; 4; 3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a– 4 b)(a +2 b), б) |(a– 4 b) ´ (a +2 b)|,

где | a |=3, | b |=2, a^b =5p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (3; 1; 4), B (–1; 5; 4), C (1; 1; 6), D (0; 4; 3).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 2sin(4j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7; 0) и F ₂(3; 0) есть величина постоянная и равна p =8. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 5 x ²+9 y ²+20 x +72 y +119=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 11

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2; –1; 1), b = (–1; 2; 1), c = (1; 3; 1), d = (–1; –2; 3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a–b)(3 a +4 b), б) |(2 a–b) ´ (3 a +4 b)|,

где | a |=2, | b |=3, a^b =p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если А (–1; –2; 0), B (1; 1; 2), C (1; 2; 2), D (1; 3; 3).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 4sin(2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–6; 0) и F ₂(2; 0) есть величина постоянная и равна p =10. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 16 x ²–9 y ²–64 x –54 y –161=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 12

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2; 4; 2), b = (–1; –2; –2), c = (3; 5; 1), d = (3; 5; –1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a–b)(3 a +4 b), б) |(2 a–b) ´ (3 a +4 b)|,

где | a |=2, | b |=3, a^b =p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (1; 3; –1), B (2; –2; 0), C (–1; 1; 2), D (3; 2; 1).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую 4(2–cosj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–11; 0) и F ₂(9; 0) есть величина постоянная и равна p =12. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 4 x ²+5 y ²+24 x +30 y +61=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 13

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2; 2; 3), b = (5; 1; 2), c = (–1; –3; –2), d = (8; 0; 1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a+ 2 b)(b– 3 a), б) |(a+ 2 b) ´ (b– 3 a)|,

где | a |=2, | b |=3, a^b =p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (2; 3; 4), B (–2; 0; 3), C (–1; 2; 1), D (2; –1; 1).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 5(2–sinj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7; 0) и F ₂(5; 0) есть величина постоянная и равна p =20. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 3 x ²–5 y ²+18 x +10 y +37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 14

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1; 0; 1), b = (0; –2; 1), c = (1; 3; 0), d = (8; 9; 4).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a+b)(a– 3 b), б) |(2 a+b) ´ (a– 3 b)|,

где | a |=3, | b |=4, a^b =p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (4; –1; 2), B (2; 2; –2), C (3; 0; 1), D (2; 1; 2).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 4(2–cosj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–3; 0) и F ₂(7; 0) есть величина постоянная и равна p =6. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 36 x ²+49 y ²+72 x –196 y –1442=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 15

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1; 1; 0), b = (–4; 3; 2), c = (–1; 2; 1), d = (1; –1; –1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a+ 3 b)(b– 3 a), б) |(2 a+ 3 b) ´ (b– 3 a)|,

где | a |=6, | b |=2, a^b =p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (–3; –2; 2), B (1; 1; 3), C (2; 1; –1), D (2; 1; 4).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 2(1+cos2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–4; 0) и F ₂(8; 0) есть величина постоянная и равна p =20. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 9 x ²–4 y ²–72 x –16 y +96=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 16

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (1; 1; 0), b = (–3; 5; 2), c = (2; –1; 3), d = (7; 23; 4).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a– 3 b)(a –2 b), б) |(2 a– 3 b) ´ (a –2 b)|,

где | a |=4, | b |=3, a^b =p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (5; –1; 3), B (4; 1; 2), C (3; 2; 1), D (5; 2; 4).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую sin²(2j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7; 0) и F ₂(13; 0) есть величина постоянная и равна p =16. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 9 x ²+16 y ²+18 x –64 y –64=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 17

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если = (2; 1; 0), b = (1; 0; 1), c = (4; 2; 1), d = (3; 1; 3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a– 3 b)(a –2 b), б) |(2 a– 3 b) ´ (a –2 b)|,

где | a |=4, | b |=3, a^b =p/3.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (5; –1; 0), B (2; 2; –1), C (3; 1; –2), D (4; 5; 1).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 2cos(3j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7; 0) и F ₂(5; 0) есть величина постоянная и равна p =20. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 16 x ²–9 y ²–64 x –54 y –161=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 18

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (3; –1; 2), b = (–2; 3; 1), c = (4; –5; –3), d = (–3; 2; –3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (4 a–b) ´ (a +2 b), б) |(4 a–b) ´ (a +2 b)|,

где | a |=3, | b |=2, a^b =p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (3; –3; 0), B (–1; 1; 2), C (2; 1; 1), D (4; 0; 2).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 6sin(3j), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–4; 0) и F ₂(6; 0) есть величина постоянная и равна p =8. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 4 x ²+5 y ²–8 x+ 20 y+ 4=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 19

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (2; 2; 3), b = (3; 1; 2), c = (1; 3; 1), d = (4; 0; 1).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (2 a– 3 b)(a+ 2 b), б) |(2 a– 3 b) ´ (a+ 2 b)|,

где | a |=5, | b |=2, a^b =3p/4.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (1; 2; –3), B (2; –1; 1), C (1; 3; –2), D (3; 1; 2).

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

и .

10. Построить кривую r = 4(1–cosj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если сумма расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–7; 0) и F ₂(5; 0) есть величина постоянная и равна p =20. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 5 x ²–3 y ²–10 x –18 y –37=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 20

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований:

.

6. Показать, что векторы a, b, c, образуют базис. Найти разложение вектора d по этому базису, если a = (–3; 1; 4), b = (–1; 5; 4), c = (–1; 1; 6), d = (0; 4; 3).

7. Вычислить выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений:

а) (a– 4 b)(a +2 b), б) |(a– 4 b) ´ (a +2 b)|,

где | a |=3, | b |=2, a^b =5p/6.

8. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) объем пирамиды, б) площадь грани ABC, в) косинус угла между ребрами AB и AC, г) уравнение прямой АВ, д) уравнение плоскости АВС, если A (4; 4; 5), B (2; 3; 4), C (1; 2; 2), D (3; 1; 3).

9. Составить каноническое уравнение прямой:

10. Построить кривую r = 5(1–sinj), заданную в полярных координатах.

11. Вывести уравнение кривой, если абсолютная величина разности расстояний от каждой ее точки до точек F ₁(–11; 0) и F ₂(9; 0) есть величина постоянная и равна p =12. Сделать чертеж.

12. Привести уравнение 5 x ²+9 y ²+20 x +72 y +119=0 к каноническому виду, определить тип кривой и сделать чертеж.

Вариант 21

1. Перемножить матрицы: .

2. Вычислить определители: а) б) .

2. Решить систему линейных уравнений: а) методом Крамера, б) при помощи обратной матрицы, в) методом Гаусса.

4. Найти общее решение методом Гаусса

5. Вычислить ранг матрицы: а) методом окаймляющих миноров; б) методом элементарных преобразований: