Критерий Сильвестра.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма (19) была положительно (отрицательно) определённой, необходимо и достаточно чтобы все собственные значения её матрицы были положительны (отрицательны).

Если квадратичная форма (19) произвольным образом приведена к каноническому виду (22), то она будет положительно (отрицательно) определённой, если для всех .

Этот сложный путь определения характера знакоопределённости квадратичной формы можно обойти, исследуя главные миноры матрицы .

Такой способ установления характера знакоопределённости квадратичной формы называется Критерием Сильвестра и состоит в следующем:

1) для того чтобы квадратичная форма (19) была положительно определённой необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы этой квадратичной формы были положительны:

2) для того чтобы квадратичная форма (19) была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных диагональных миноров матрицы этой квадратичной формы чередовались, начиная со знака «–» для , т. е.

31. Произвольные системы m линейных уравнений с n неизвестными. Понятие общего, частного и базисного решений системы уравнений.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А*= называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b₁, b₂, …, b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные:

Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных.

Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных.

• Базисное решение (вектор) называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.
• Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.

32. Метод Жордана-Гаус­ са.

33. Переход от одного базисного решения к другому. (не нашел, к сожалению)

34. Понятия опорного и допустимого решений систем линейных уравнений.

Решение системы m-линейных уравнений с n-неизвестными, в которых значения всех переменных неотрицательны называются допустимыми решениями, а совокупность всех допустимых значений областью допустимых решений. Базисные допустимые решения называются опорными решениями, число которых решений меньше числа базисных.