Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Основная теорема доказана.






Примечание. События Dm несовместны и образуют полную группу событий, что, в соответствие с (13), позволяет записать следующее:

. (29)

Вспомогательная теорема. В условиях испытаний Бернулли вероятнейшее число m0 наблюдений примитива Ar является целым числом, принадлежащим единичному отрезку [np – q; np + p], т. е.:

m0 [np – q; np + p] или m0 = INT(p*(n+1)), (30)

где INT(…) – оператор, определяющий целую часть числа. Переходим к доказательству этой теоремы.

Дано: См. «Основную теорему» плюс определение вероятнейшего числа наблюдений m0, как значения параметра «m», характеризующегося максимальной вероятностью.

Найти: m0 = arg(Pn(m) = max) –?

Решение: В связи с тем, что функция (28) является дискретной, для определения её экстремума не применим классический прием нахождения производной непрерывной функции и приравнивания этой производной нулю. Однако, условие m0 = arg(Pn(m) = max) порождает два неравенства:

Pn(m0 + 1) ≤ Pn(m0)

. (31)

Pn(m01) ≤ Pn(m0)

Раскроем первое из них по формуле (28) и выполним ряд последовательных преобразований, что даст нам левую границу для числа m0:

→ np – q ≤ m0. (32)

Выполнив аналогичные преобразования со вторым неравенством, получим правую границу этого числа:

m0 ≤ np + p. (33)

Объединив неравенства (32) и (33), получим границы единичного отрезка, внутри которого лежит единственное целое число m0:

m0 [np – q; np + p], (34)

что эквивалентно утверждению (30). Теорема доказана. #

При некоторых «n» и «p» формулы (30) могут давать для испытаний Бернулли два равновероятных значения m0 и m′ 0.

Задача 2.8. Разберем задачу [7] о выигрышах у равносильного противника в матчах разной продолжительности, изменив в ней несколько условия и расширив её дополнительным вопросом:

1) Что вероятнее: три победы в матче из четырех встреч, или шесть - из восьми?

2) Каково вероятнейшее число побед в матче из восьми встреч?

Дано: n1 = 4; m1 = 3; n2 = 8; m2 = 6; A = {примитив} = {выигрыш у равносильного противника одной партии};

P(A) = p = P(Ā) = q = 1 / 2 – вероятность выигрыша или проигрыша равносильному противнику, полагается постоянной в обоих матчах.

Найти: 1) соотношение между вероятностями P4(3) и P8(6);

2) m0 при n2 = 8.

Решение:

1. Вычисляем искомые вероятности по формуле (25):

P4(3) = C43 p3q4 – 3 = 4! / (4 – 3)! / 3! (1/2)3 (1/2) = 16 / 64;

P8(6) = C86 p6q8 – 6 = 8! / (8 – 6)! / 6! (1/2)6 (1/2)2 = 7 / 64

Вывод: P4(3) > P8(6) более чем в два раза, хотя, обратите внимание! в обоих случаях эффективность выигрышей (m / n = 3 / 4 = 6 / 8) одинакова и составляет 75%.

2. Вероятнейшее число побед во втором матче находим по формуле (34) и её эквиваленту (30):

m0 [np – q; np + p] → m0 [8*0.5 - 0.5; 8*0.5 + 0.5] → m0 = 4. (34)

m0 = INT(p(n + 1) = INT(0.5(8 + 1)) → m0 = 4. # (30)






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.