Корреляция двух событий.

Величины, моделирующие детерминированные процессы, явления и т.п. с помощью математических выражений, могут находиться в функциональной зависимости друг от друга: z = f(x, y). Аргументы «x» и «y» считаются независимыми, когда их функция «z» может быть представлена в виде произведения двух функций, каждая из которых является новой функцией только одного аргумента: z = f(x, y) = f₁(x)* f₂(y).

Нам представляется уместным не употреблять термин «зависимость» для таких вероятностных объектов как «события», а характеризовать их взаимодействие словами «стохастически связанные» или «коррелированные». Когда такой связи нет, будем называть их «стохастически не связанными» или, «не коррелированными». Линейной мерой такой связи служит корреляция.

Стохастическая связь событий – это взаимное влияние признаков событий на их вероятности. Наличие у наблюдённого элементарного исхода «ω» того или иного признака A, B и т. д. влияет на условные вероятности соответствующих событий при сопоставлении их с безусловными вероятностями этих же событий.

Определим попарную несвязанность двух событий A и B.

События А и В называются попарно не связанными, если наличие одного признака не влияет на вероятность наличия другого признака. Аналитически это определение равносильно записи

P(B | A) = P(B) или P(A | B) = P(A). (23)

Для попарно несвязанных событий Теорема 2 о вероятности пересечения двух событий (19) принимает такой вид:

P(AB) = P(A) * P(B). ` (24)

В данной ситуации событие C = AB называют логическим произведением, а события A и B – сомножителями. Фактически мы дали определение для вероятности совместного наступления двух вероятностно не связанных между собой событий: вероятность произведения двух несвязанных событий равна произведению безусловных вероятностей этих событий.

Условие несвязанности (23) и следствие из него (24) взаимозаменяемы, т.е. можно определить несвязанность с помощью условия (24), следствием чего станут выражения (23).

Когда число событий больше двух, то несвязанность в совокупности группы событий определяется так:

P(∩ A_i) = P(A₁)* P(A₂)*…* P(A_n). (25)

При этом, из несвязанности в совокупности следует попарная несвязанность, но не наоборот! Простой пример, автор которого С.Н. Бернштейн, иллюстрирует это положение [5].

Пример 2.6. Пусть ПЭИ W состоит из четырех равновозможных элементарных исходов w_i, таких что P(w_i) = 1 / 4. Генератор таких событий – тетраэдр (n = 4; m = 1). Введём три события, состоящие из одного общего исхода ω ₄ и трёх разных: A = {ω ₁ ω ₄}, B = {ω ₂ ω ₄}, C = {ω ₃ ω ₄}. Установим, связаны ли онипопарно и в совокупности. С этой целью проверим выполнение обоих условий (24) и (25).

Отметим, что AB = AC = BC = ABC = {ω ₄}. Вероятности всех этих событий одинаковы и равны 1 / 4. С другой стороны, вероятности введённых событий P(A) = P(B) = P(C) = 1/2. Таким образом, условие попарной несвязанности (24) выполняется для всех трех пар AB, AC и BC:

P(AB) = … = P(BC) = 1 / 4 = P(A)*P(B) =…=P(B)*P(C) = 1 / 2*1 / 2 = 1 / 4.

Следовательно, события A, B и C попарно не связаны друг с другом. В совокупности же эти события связаны:

P(ABC) = 1 / 4 ≠ P(A)*P(B)*P(C) = 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 = 1 / 8. #

Количественной характеристикой, мерой попарной связанности событий является их корреляция, представляющая собой отношение вероятности совместного наступления двух событий к произведению безусловных вероятностей этих событий [6]:

Δ _AB = P(AB) / (P(A)*P(B)). (26)

Если числитель этой дроби раскрыть по формуле (19), то получим еще два выражения для корреляции:

Δ _AB = P(A | B) / P(A) = P(B | A) / P(B). (27)

Величина Δ _AB меняется от 0 до ∞, т.е. 0 ≤ Δ _AB ≤ ∞. Когда это отношение равно 1, события A и B – стохастически не связаны. Если оно меньше единицы, то корреляция фиксирует обратный эффект, т.е. условная вероятность события становится меньше его безусловной вероятности. Предельный случай такой корреляции (Δ _AB = 0) – это несовместностьсобытий.

Если корреляция прямая, то Δ _AB > 1. В такой ситуации условная вероятность события больше его безусловной вероятности.

Все перечисленные ситуации можно проиллюстрировать диаграммами Эйлера-Венна (Рис. 2.4).

AB = Ø AB ≠ Ø AB = A, P(B) 0

Δ _AB = 0 Δ _AB = 1 Δ _AB → ∞

Связанность Несвязанность Связанность

корреляция

обратная отсутствует прямая.

Рис.2.5 Корреляция двух событий.

Исследуем положительное предельное значение корреляции: стремление её к неограниченному возрастанию. Пусть A и B два события, вероятности появления которых стремятся к нулю, и одно из них, например A, включено в другое, т.е. AB = A. В таком случае вероятности P(AB) и P(A) равны друг другу и отношение (26) принимает вид:

Δ _AB = P(A) / (P(A)*P(B)) = 1 / P(B).

Далее, устремляя P(B) к нулю, получаем:

Δ _AB = (1 / P(B)) = ∞.

Итак, предельная, т.е. бесконечно большая прямая корреляция наблюдается для пары маловероятных событий, когда одно из них включено в другое.

Совместные события A и B могут быть отрицательно коррелированными, стохастически несвязанными или положительно коррелированными. Всё зависит от способа разбиения ПЭИ W на A и B. Следующий пример даёт хорошую иллюстрацию реагирования попарной стохастической связанности событий на изменение объёма и структуры ПЭИ W.

Пример 2.7.

Вариант « α ».

Возьмём все «картинки» (n=16) из колоды игральных карт: тузы, короли, дамы, валеты четырёх мастей (червы, бубны, трефы, вини). Вскрывается одна карта (m = 1). ПЭИ W будет иметь объём N = n^m = 16¹ = 16. Очевидно, что P(ω _i)= 1/16. Рассмотрим два события: A = { дамы } = { ω ₉, ω ₁₀, ω ₁₁, ω ₁₂ } и B = { трефы } = { ω ₃, ω ₇, ω ₁₁, ω ₁₅ }, а так же их пересечение AB = { дама треф } = { ω ₁₁ }. ПЭИ W, события A, B и AB представлены на диаграмме Эйлера-Венна (Рис. 2.6).

Рис. 2.6 Иллюстрация к Примеру 2.7

Определим стохастическую связанность пары событий A и B, используя корреляцию (26). В соответствие с Аксиомой 3 вероятности указанных событий будут равны: P(A) = 4 / 16; P(B) = 4 / 16; P(AB) = 1 / 16. Корреляция этих событий оказывается равной единице:

.

Вывод по варианту «α».

События A и B не связаны стохастически: они не подвержены взаимному влиянию.

Вариант « β ».

Расширим ПЭИ W, добавив к нему одну «белую» карту с такой же «рубашкой». Объём W увеличится: N = 17. Вероятность элементарного исхода уменьшится: P(ω _i)= 1/17. Структура событий A, B и AB сохранится, но их вероятности уменьшатся: P(A) = 4 / 17; P(B) = 4 / 17; P(AB) = 1 / 17. Вновь оценим стохастическую связь этой пары с помощью корреляции:

.

Вывод по варианту «β».

События A и B стохастически связаны друг с другом. Корреляционная связь прямая (положительная): условные вероятности этих событий

P(A | B) = P(AB) / P(B) = 1 / 4 и P(B | A) = P(AB) / P(A) = 1/4

больше соответствующих безусловных вероятностей

P(A) = P(B) = 4 / 17.

Вариант « γ ».

Уменьшим первоначальное ПЭИ W, изъяв валета виней. Изменится объём W: N = 15. Вероятность элементарного исхода увеличится: P(ω _i) = =1/15. Структура событий A, B и AB сохранится, а их вероятности увеличатся: P(A) = 4 / 15; P(B) = 4 / 15; P(AB) = 1 / 15. Вновь оценим взаимную стохастическую связь этой пары, используя корреляцию:

.

Вывод по варианту «γ».

События A и B вновь оказались стохастически связанными друг с другом. Однако теперь корреляционная связь – обратная (отрицательная): условные вероятности этих событий

P(A | B) = P(AB) / P(B) = 1 / 4 и P(B | A) = P(AB) / P(A) = 1 /4

меньше соответствующих безусловных вероятностей

P(A) = P(B) = 4 / 15.

Общее резюме.

Взаимное стохастическое влияние событий A и B определяется как структурой этих событий, так и структурой и объёмом самого ПЭИ W.

2.1.10 Некоторые классические теоремы.

Многие классические теоремы представляют собой задачи, поставленные и решенные кем-то и когда-то в связи с какой-то необходимостью. Это позволяет нам строить их доказательство следующим образом. По тексту теоремы определяем, что дано, что нужно найти, и проводим доказательство в форме решения.