Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Типовые задачи оптимизации в экономике, методы и модели получения решений. Реализация оптимизационных моделей средства ми MS Excel.






 

Оптимизационные модели – это модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из определенного или бесконечного числа вариантов производства, распределения или потребления. Оптимизационные модели, как и другие, упрощают действительность. Тем не менее, оптимизационные модели по сравнению с интуитивными умозрительными моделями имеют значительные преимущества: не допускают логических ошибок, так как могут быть математически проверены на наличие нарушений логики; являются бескомпромиссными и не содержат ничего лишнего, сводят проблему к ее сути и содействуют выражению основополагающих взаимосвязей целей и средств.

Задачи оптимизации (или задачи математического программирования) – это задачи нахождения максимального или минимального (или равное определенному числу) значения некоторой функции, называемой целевой функцией. Если заданы ограничения на аргументы целевой функции, то задача называется задачей условной оптимизации, если ограничения не накладываются, то задачей безусловной оптимизации. «Теория оптимизации», с одной стороны, является самостоятельной наукой, а, с другой стороны, составной частью науки под названием «исследование операций».

По содержанию можно определить следующие виды задач оптимизации:

1 транспортные задачи (классическая, многопродуктовая и др.);

2 задачи производственного планирования (задача рационального распределения ресурсов или задача определения оптимального ассортимента продукции);

3 задачи управления запасами;

4 задачи загрузки производственных мощностей;

5 задачи минимизации дисбаланса на линии сборки (задача минимакса);

6 задачи планировки и размещения промышленного оборудования;

7 задача распределения финансовых вложений (внутренних и внешних – инвестиций);

8 задача оптимизации плана занятости;

9 оптимизация рекламной компании;

11 задача проектирования оптимальных трасс линейных сооружений и др.

В общей постановке задача оптимизации формулируется следующим образом: найти значения переменных х1, х2, …хn, при которых целевая функция

 

(1)

 

достигает максимального (минимального) значения при условиях (ограничениях):

 

(2)

Поскольку min f(x) эквивалентен max [- f(x)], то задачу минимизации всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.

Значительная часть производственных задач требует по своему смыслу неотрицательного и целочисленного решения, когда переменные величины обозначают количество неделимых единиц продукции, оборудования, заготовок. Тогда появляются ограничения вида

 

x1 ³ 0, x2 ³ 0, ..., xn ³ 0 (3)
(4)

 

В некоторых практических задачах переменные могут принимать не любые целые значения, а лишь значения 0 – ответ «нет» и 1 – ответ «да». Такие переменные называются булевыми. Одной из задач с такими переменными является задача о назначениях.
Реализация модели задачи в MS Excel

Составим на рабочем листе MS Excel две таблицы (рисунок 10).

Заполним формулами, необходимыми для создания ограничений на запасы, ячейки G13: G15 столбца «Использовано запасов». Для этого в ячейку G13 вводим формулу =СУММ(B13: E13). Копируем эту формулу до ячейки G15.

 

Рисунок 10 – Ввод исходных данных

3 Заполним формулами, необходимыми для создания ограничений на потреб­ности, ячейки В17: Е17 строки «Удовлетворено потребностей».

Для этого в ячейку В17 вводим аналогично формулу =СУММ(B13: B15), которую копируем до ячейки Е17.

4 Запишем формулу для целевой функции. В ячейку А18 вводим текст: «Итоговые затраты на перевозку груза», а в ячейку G18 с помощью Мастера функций вводим формулу: =СУММПРОИЗВ(B5: E7; B13: E15) из категории Математические, где B5: E7 – массив 1, B13: E15 – массив 2. Полученная формула дает сумму из 12 по­парных произведений указанных ячеек двух таблиц, которая и является для нас целевой функцией. В ячейки G18, G13: G15, В17: Е17 пока запишутся нулевые значения.

Рисунок 11 – Электронная таблица в режиме формул

5 Укажем необходимые ссылки на ячейки и ограничения для целевой функ­ции. Для этого во вкладке Данные выберем Поиск решения, после чего появится диалоговое окно Поиск решения.

Рисунок 12 – Выбор надстройки Поиск решения

 

6 Заполним поля диалогового окна Поиск решения.

В полеУстановить целевую ячейку указываем ячейку G18, для этого надо щелкнуть на этой ячейке, если она видна из-под диалогового окна, в противном случае следует щелкнуть на указателе перехода , чтобы свернуть окно (для возврата в диалоговое окно надо снова щелкнуть на ука­зателе перехода). Результат – абсолютная ссылка $G$18.

Установим значениеминимальному значению переключателя Равной, щелкнув на соответствующем кружке.

- В поле Изменяя ячейки укажем диапазон ячеек $В$13: $Е$15 либо пря­мым выделением этого диапазона с помощью мыши, либо с использованием указателя перехода .

- В полеОграничения создаем список всех ограничений задачи после нажатия на кнопку Добавить (таблица 3).

Таблица 3 – Ввод ограничений в MS Excel

Ограничение Смысловое значение
$B$13: $E$15> =0 число перевозок не может быть отрицательным
$B$17: $E$17< =$B$16: $E$16 все потребности не могут быть удовлетворены из-за меньшей мощности производителей
$G$13: $G$15=$F$13: $F$13 все запасы производителей должны быть использованы

 

Каждое новое ограничение добав­ляется в этом же окне щелчком на кнопкеДобавить.Заканчивается ввод по щелчку на кнопкеОК, при этом возвраща­ется диалоговое окноПоискрешения, которое примет вид, показанный на рисунке 13.

7 Запускаем поиск оптимального решения кнопкойВыполнить. Диалоговое окноРезультаты поиска решениясообщит об успехе поиска (рисунок 14).

Рисунок 13 – Ввод данных в надстройку Поиск решения

Рисунок 14 – Результат поиска решения

8 Сохраняем найденное решение (рисунок 15).

Рисунок 15 – Результат решения

Анализ полученных решений

При решении задачи в MS Excel найдено минимальное значение транспортных расходов на перевозку, которое составило 17935 рублей. При этом все запасы производителей использованы, а потребности не удовлетворены лишь для потребителя П1 в количестве 350 – 265=85 единиц, что равно разнице мощности производителей и потребностей заказчиков: 1200 – 1115=85. Полученное решение оптимально.

Осуществим анализ модели на чувствительность. Для этого создадим отчеты по устойчивости, результатам и пределам (рисунки 16 – 18).

Отчет по устойчивости (рисунок 16) содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот отчет имеет два раздела: один для изменяемых ячеек, а второй для ограничений. Правый столбец в каждом разделе содержит информацию о чувствительности. Раздел для изменяемых ячеек содержит значение нормированного градиента, которое показывает, как целая ячейка реагирует на увеличение значения в соответствующей изменяемой ячейке на единицу. Множитель Лагранжа в разделе для ограничений показывает, как целевая ячейка реагирует на увеличение соответствующего значения ограничения на одну единицу.

Рисунок 16 – Отчет по устойчивости

Если в п араметрах поиска решения установлен флажок Линейная модель, то отчет по устойчивости содержит дополнительные столбцы информации.

Отчет по результатам (рисунок 17) содержит три таблицы: в первой приведены сведения о целевой функции до начала вычисления, во второй – значения искомых переменных, полученные в результате решения задачи, в третьей – результаты оптимального решения для ограничений. Этот отчет также содержит информацию о таких параметрах каждого ограничения, как статус и разница. Статус может принимать три состояния: связанное, несвязанное или невыполненное.

Рисунок 17 – Отчет по результатам

 

Значение разницы – это разность между значением, выводимым в ячейке ограничения при получении решения, и числом, заданным в правой части формулы ограничения. Связанное ограничение – это ограничение, для которого значение разницы равно нулю. Несвязанное ограничение – это ограничение, которое было выполнено с ненулевым значением разницы.

Отчет по пределам содержит информацию о том, в каких пределах значения изменяемых ячеек могут быть увеличены (уменьшены) без нарушения ограничений задачи. Для каждой изменяемой ячейки показано оптимальное и наименьшее значения, которые ячейка может принимать без нарушения ограничений.

Рисунок 18 – Отчет по пределам

Отчеты устойчивость и пределы не применимы для задач с целочисленными ограничениями.

Т.о., нами была решена транспортная задача, найден и проанализирован оптимальный план доставки груза к потребителям.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.