Операции над событиями и расширение классификации.

Введем [3] правило, позволяющее устанавливать равенство объектов. Равенство подразумевает:

1) рефлексивность ^__ (a = a);

2) симметричность ^__ (из равенства a = b следует b = a);

3) транзитивность ^__ (из равенств a = b и b = c следует, что a = c).

События допускают над собой определенные операции. Необходимо и достаточно трёх операций, чтобы описать возможные ситуации.

Отрицание. Данная операция обозначается надстрочным символом " ^__ ", который ставится над именем отрицаемого события. Запись Ā читается «не A», а событие Ā называется противоположным исходному. Противоположное событие Ā состоит из тех элементарных исходов w_j, которые дополняют событие A до ПЭИ W.

Свойства операции отрицание:

1) = A; 2) = Ø; 3) ^__? (Отрицание невозможного события не определено, так как любое отдельное событие A и ПЭИ W включают в себя бесчисленное количество невозможных исходов Ø – пустых множеств).

Пересечение. Эта операция обозначается символом ∩, который можно опускать. Пересечением двух событий A и B называется такое третье событие C, которое состоит из элементарных исходов, обладающих одновременно свойствами A и B. Связь между C, A и B записывается так: C = A ∩ B = AB.

Если события A и B не имеют общих элементарных исходов, то они являются несовместными, а их пересечение – это невозможное событие: AB = Ø.

Этим качеством необходимо обладают элементарные исходы, что уже отмечалось при их определении, т.е. w_i ∩ w_j = Ø.

При этом сами элементарные исходы реально образуются в виде пересечения примитивов: w_i = {o _kо _l … о_n}.

Аналогично определяется пересечение любого конечного числа событий:

A ∩ B ∩ C ∩ … ∩ K = ABC…K.

Свойства операции пересечение:

1) AĀ = Ø – несовместность противоположных событий;

2) AB = BA – коммутативность пересечения;

3) ABC = (AB)C = B(AC) и т.п. – ассоциативность пересечения;

4) AØ = Ø; 5) AΩ = A; 6) AA = A.

Объединение. Операция объединение обозначается символом . Событие «C» представляет собой объединение двух событий A и B, если ему соответствует список элементарных исходов, единый для A и B. Естественно, что элементарные исходы, принадлежащие пересечению AB, вносятся в этот список единожды. Записывается объединение следующим образом: C = A B.

Свойства операции объединение:

1) A B = B A – коммутативность объединения;

2) A B C = (A B) C = A (B C) – ассоциативность объединения;

3) A(B C) = AB AC и 4) A (BC) = (A B)(A C) – дистрибутивность пересечений и объединений;

5) A Ā = Ω; 6) A Ø = A; 7) A Ω = Ω; 7) = ; 8) .

Когда события A и B несовместны, их объединение C называют логической суммой, а события A и B – слагаемыми, т.е. если AB = Ø, то знак заменяется операндом «+»: C = A + B. Очень полезно для понимания основных операций воспользоваться диаграммами Эйлера-Венна (Рис. 2.1).