Задача 5. Зроблено чотири постріли в ціль

Зроблено чотири постріли в ціль. Побудувати закон розподілу випадкового числа влучень, якщо ймовірність влучення при одному пострілі дорівнює 0, 8. Обчислити D (x).

Розв’язання.

За даними задачі маємо:

n = 4,

р = 0, 8,

q = 1 - 0, 8 = 0, 2,

х – число попадань в мішень.

Закон розподілу випадкового числа влучень зобразимо у вигляді біномного розподілу:

Р_n(k) = с p^kq^n-k [4, c.122],

тоді Р₄(0) = с ۰ 0, 8⁰۰ 0, 2⁴ = 0, 0016,

Р₄(1) = с ۰ 0, 8¹ ۰ 0, 2³ = ۰ 0, 8۰ 0, 008 = 0, 0256,

Р₄(2) = с ۰ 0, 8² ۰ 0, 2² = ۰ 0, 64۰ 0, 04 = 0, 1536,

Р₄(3) = с ۰ 0, 8³ ۰ 0, 2¹ = ۰ 0, 512۰ 0, 2 = 0, 4096,

Р₄(4) = с ۰ 0, 8⁴ ۰ 0, 2⁰ = 0, 4096.

Закон розподілу випадкового числа влучень:

Р₀ = Р(х=0) = 0, 0016,

Р₁ = Р(х=1) = 0, 0256,

Р₂ = Р(х=2) = 0, 1536,

Р₃ = Р (х=3) = 0, 4096,

Р₄ =Р(х=4) = 0, 4096.

Обчислимо математичне сподівання М(х) випадкової величини Х:

М(х)= [2, с.217],

в нашому випадку М(х)=1 ۰ 0, 0256 + 2۰ 0, 1536 + 3۰ 0, 4096 + 4۰ 0, 4096 = 3, 2.

Дисперсія D(x) випадкової величини Х визначається за формулою:

D(x) = М ((Х-М(Х)) )=М(Х )-М (Х) [2, c.218], тобто

D(x) =1² ۰ 0, 0256 + 2²۰ 0, 1536 + 3²۰ 0, 4096 + 4²۰ 0, 4096 – 3, 2² = 0, 64.

Відповідь. Р₀ = Р(х=0) = 0, 0016,

Р₁ = Р(х=1) = 0, 0256,

Р₂ = Р(х=2) = 0, 1536,

Р₃ = Р (х=3) = 0, 4096,

Р₄ =Р(х=4) = 0, 4096;

D(x)=0, 64.

Задача 6

Дано функцію F (x) розподілу ймовірності випадкової величини Х. Знайти M (X), σ (X) та побудувати графіки функцій F (x), f (x):

F (х) =