Раздел 4 Некоторые задачи динамики

Тема 4.1 Одномерное движение

Одномерное движение, его качественное исследование. Период одномерного финитного движения. Задача двух тел, ее сведение к одночастичной задаче, приведенная масса.

Ключевые слова: одномерное движение, точка остановки, финитное движение, инфинитное движение, потенциальная яма, период движения, приведенная масса, задача двух тел.

Одномерным называют движение системы с одной степенью свободы. Общий вид функции Лагранжа такой системы, находящейся в постоянных внешних условиях, следующий

,

где - некоторая функция обобщенной координаты . Если есть декартова координата, то

.

Первый интеграл движения, т.е. уравнение, выражающее закон сохранения энергии, имеет вид

.

Это дифференциальное уравнение первого порядка, которое интегрируется путем разделения переменных:

.

Роль произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия и постоянная интегрирования .

Так как кинетическая энергия – существенно положительная величина, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т.е. движение может происходить в тех областях пространства, где .

Точки, в которых потенциальная энергия равна полной, , определяют границы движения. Они являются точками остановки, поскольку в них скорость обращается в нуль. Если область движения ограничена двумя такими точками, то движение происходит в ограниченной области пространства. Оно называется финитным. Если же область движения не ограничена или ограничена лишь с одной стороны, то движение инфинитно, частица уходит на бесконечность.

Одномерное финитное движение является колебательным – частица совершает периодически повторяющееся движение между двумя границами.

Период колебаний равен

.

Задача о движении системы, состоящей из двух взаимодействующих частиц, называется задачей двух тел. Эта задача может быть упрощена путем разложения движения системы на движение центра инерции и движение точек относительно последнего.

Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит лишь от расстояния между ними, т.е. от абсолютной величины разности их радиус-векторов. Лагранжева функция такой системы

.

Введем вектор взаимного расстояния обеих точек

и поместим начало координат в центре инерции, что дает:

.

Из двух последних равенств находим:

.

Подставляя эти выражения в функцию Лагранжа, получим:

,

где введено обозначение

.

Эта величина называется приведенной массой. Полученная функция Лагранжа формально совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой , движущейся во внешнем поле , симметричном относительно неподвижного начала координат.

Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих материальных точек сводится к решению задачи о движении одной точки в заданном внешнем поле .

Тема 4.2 Движение в центральном поле

Частица в центрально-симметричном поле. Законы сохранения, уравнение траектории. Качественное исследование движения по графику эффективной потенциальной энергии.

Ключевые слова: центральное поле, момент системы, циклическая координата, импульс системы, секториальная скорость, центробежная энергия, эффективная потенциальная энергия, точки поворота, финитное движение, инфинитное движение.

Поле, в котором потенциальная энергия частицы зависит только от расстояния до определенной неподвижной точки, называется центральным. Сила, действующая на частицу, по абсолютной величине зависит тоже только от расстояния и направлена в каждой точке вдоль радиус-вектора:

.

При движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы это есть

.

Поскольку векторы и взаимно перпендикулярны, постоянство означает, что при движении частицы ее радиус-вектор все время остается в одной плоскости – в плоскости, перпендикулярной к .

Задача интегрирования уравнений движения упрощается при наличии циклических координат. Циклической координатой называют всякую обобщенную координату, не входящую явным образом в лагранжеву функцию. В силу уравнения Лагранжа для циклической координаты имеем

,

т.е. соответствующий ей обобщенный импульс является интегралом движения.

Функция Лагранжа частицы, движущейся в центральном поле, в полярных координатах имеет вид

.

Эта функция не содержит в явном виде координату , т.е. - циклическая координата. В данном случае обобщенный импульс

совпадает с моментом, так что мы возвращаемся к закону сохранения момента

.

Выражение представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории. Тогда

,

где производную называют секториальной скоростью. Поэтому сохранение момента означает постоянство секториальной скорости – за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади. Это второй закон Кеплера.

Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и момента:

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

.

Из закона сохранения момента имеем

.

Подставив сюда и интегрируя, находим:

.

Это уравнение траектории.

Величину называют центробежной энергией. Значения , при которых

,

определяют границы области движения по расстоянию от центра. В этом случае радиальная скорость обращается в нуль. Это не означает остановки частицы, так как угловая скорость не обращается в нуль. означает точку поворота траектории.

Тема 4.3 Задача Кеплера

Движение частицы в кулоновском поле, ее траектории. Финитное движение в кулоновском поле. Законы Кеплера.

Ключевые слова: эффективная потенциальная энергия, параметр, эксцентриситет, уравнение траектории, орбита, эллиптическая орбита, гипербола, парабола, большая полуось, малая полуось, центр поля, период обращения.

Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна и соответственно силы – обратно пропорциональны . Сюда относятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электростатические поля. Первые имеют характер притяжения, а вторые могут быть как полями притяжения, так и отталкивания.

Рассмотрим поле притяжения, в котором

( - положительная постоянная).

Эффективная потенциальная энергия имеет вид:

.

При эффективная потенциальная энергия обращается в , а при стремится к нулю со стороны отрицательных значений, при она имеет минимум, равный

При движение частицы будет инфинитным, а при – финитным.

Форма траектории получается с помощью общей формулы

.

Подставляя сюда и производя интегрирование, получим:

.

Выбирая начало отсчета угла так, чтобы и вводя обозначения

,

формула для траектории перепишется в виде:

,

где - параметр орбиты, - эксцентриситет.

При орбита является эллипсом и движение финитно. Большая и малая полуоси эллипса определяются из формул:

.

Наименьшее и наибольшее расстояния до центра поля равны:

.

При эллипс обращается в окружность.

Период движения можно определить с помощью закона сохранения момента в форме «интеграла площадей». Интегрируя это равенство по времени от нуля до , получим:

,

где - площадь орбиты (эллипса). С учетом выражений для наименьшего и наибольшего расстояний до центра поля имеем:

.

Как видно, пероид зависит только от энергии частицы. При этом квадрат периода пропорционален кубу линейных размеров орбиты (третий закон Кеплера).

При движение инфинитно. Если , то эксцентриситет , т.е. траектория является гиперболой, огибающей центр поля. Ближайшее расстояние до центра

,

где

- «полуось» гиперболы.

В случае эксцентриситет , т.е. частица движется по параболе, с минимальным расстоянием .

Рассмотрим движение частицы в поле отталкивания, в котором

.

В этом случае эффективная потенциальная энергия

убывает от до нуля при изменении от нуля до . Энергия частицы может быть только положительной и движение всегда инфинитно. Траектория является гиперболой:

.

Минимальное расстояние до центра

.

Тема 4.4 Рассеяние частиц

Рассеяние частиц в силовом поле, сечение рассеяния. Формула Резерфорда.

Ключевые слова: рассеяние частиц, угол отклонения, прицельное расстояние, рассеяние пучка, эффективное сечение, сечение рассеяния, падающая частица.

Полное определение результата столкновения двух частиц требует решения уравнений движения с учетом конкретного закона взаимодействия частиц. Сначала рассмотрим задачу об отклонении одной частицы с массой в поле неподвижного силового центра, расположенного в центре инерции частиц. Траектория частицы в центральном поле симметрична по отношению к прямой, проведенной в ближайшую к центру точку орбиты. Поэтому обе асимптоты орбиты пересекают указанную прямую под одинаковыми углами. Обозначим их посредством . Тогда угол отклонения частицы при ее пролетании мимо центра будет равен:

.

Угол определяется по интегралом

,

взятым между ближайшим к центру и бесконечно удаленным положениями частицы.

Введем вместо постоянных и другие – скорость частицы на бесконечности и прицельное расстояние . Прицельное расстояние – расстояние, на котором частица прошла бы мимо центра, если бы силовое поле отсутствовало. Энергия и момент выражаются через новые постоянные согласно

.

Тогда

.

В физических приложениях приходится иметь дело не с индивидуальным отклонением частицы, а с рассеянием целого пучка одинаковых частиц, падающих на рассеивающие центр с одинаковой скоростью .

Для характеристики процесса рассеяния вводят эффективное сечение рассеяния

,

где - число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка, - число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы, лежащие в интервале между и . Эффективное сечение рассеяния определяется видом рассеивающего поля.

Число частиц, которые летят с прицельным расстоянием в определенном интервале между и , равно произведению на площадь кольца между окружностями с радиусами и . Поэтому эффективное сечение рассеяния

или

,

где - элемент телесного угла.

Эта формула определяет эффективное сечение рассеяния в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции. Для нахождения эффективного сечения в зависимости от угла рассеяния в лабораторной системе надо выразить в этой формуле через , причем

.

Рассмотрим рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле

.

В этом случае

С другой стороны

.

Сравнивая их, получим

.

Дифференцируя это выражение по и учитывая формулы для вычисления эффективного сечения рассеяния, получим:

.

Это формула Резерфорда. Эта формула дает эффективное сечение рассеяния в системе отсчета, в которой покоится центр инерции сталкивающихся частиц.

В лабораторной системе для частиц, первоначально покоившихся, получим

.

Для падающих частиц в случае равенства масс обеих частиц имеем

.

Тема 4.5 Малые колебания

Малые колебания. Гармонические колебания. Затухающие колебания. Вынужденные колебания.

Ключевые слова: свободные одномерные колебания, частота, амплитуда колебаний, циклическая частота, вынужденные колебания, вынуждающая сила, резонанс, затухающие колебания, коэффициент затухания, сила трения, дифференциальные уравнения колебаний, закон колебаний.

Одним из распространенных типов движения механических систем являются малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Рассмотрим простой случай этих движений, когда система имеет всего одну степень свободы.

Лагранжева функция системы, совершающей одномерные малые колебания, имеет вид:

.

Соответствующее этой функции уравнение движения запишется следующим образом:

или

,

где

.

Общее решение этого линейного дифференциального уравнения второго порядка

или

,

где произвольные постоянные и связаны с постоянными и соотношениями

.

Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение. Коэффициент называется амплитудой колебаний, аргумент косинуса – их фазой, – начальной фазой, – циклической частотой. Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий движения.

Энергия системы, совершающей малые колебания, есть

.

Колебания, которые система совершает под действием некоторого переменного внешнего поля, называются вынужденными. Лагранжева функция такой системы будет равна

.

Соответствующее этой функции уравнение движения есть

или

.

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения получается в виде

,

где – общее решение однородного уравнения, – частный интеграл неоднородного уравнения. В данном случае .

Допустим, что вынуждающая сила является простой периодической функцией времени с частотой :

.

Частный интеграл неоднородного уравнения ищем в виде

.

Подстановка этого решения в уравнение дает:

.

Тогда общий интеграл получается в виде:

.

Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний – с собственной частотой системы и с частотой вынуждающей силы .

До сих пор влияние среды на движение не учитывалось. В действительности при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется.

Рассмотрим колебания с частотами, малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативных процессов в среде. При выполнении этого условия можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая только от его скорости:

,

где – положительный коэффициент, знак минус показывает, что сила действует в сторону, противоположную скорости.

Уравнение движения будет иметь вид:

.

Введем обозначения

.

Здесь есть частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Величина называется коэффициентом затухания.

Тогда уравнение движения примет вид

.

Общее решение этого дифференциального уравнения

.

Здесь различают три случая.

Если , то получается два комплексно сопряженных значения . Общее решение уравнения движения можно записать в виде:

.

Выражаемое этими формулами движение представляет собой затухающие колебания.

Если , то оба значения вещественны и отрицательны. Общее решение уравнения

.

Этот тип движения называют апериодическим затуханием.

Особый случай апериодического затухания получается и при . Общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид

.

Уравнение движения системы, совершающей вынужденные колебания при наличии трения, следующее:

.

Закон вынужденных колебаний при наличии трения имеет вид:

.

Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остается только второй член.