Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Раздел 2 уравнения движения классической механики
Тема 2.1 Уравнения движения Принцип наименьшего действия. Уравнение Лагранжа. Функция Лагранжа. Обобщенные координаты. Уравнения движения Ньютона. Ключевые слова: обобщенные координаты, обобщенные скорости, обобщенные ускорения, уравнения движения, функция Лагранжа, уравнения Лагранжа. Для определения положения системы из материальных точек в пространстве надо задать радиус-векторов, т.е. координат. Число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы, называется числом ее степеней свободы. Эти величины не обязательно должны быть декартовыми координатами точек. В зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор каких-либо других координат. Любые величин , характеризующие положение системы, называют ее обобщенными координатами, а производные - ее обобщенными скоростями. Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения. Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается принципом наименьшего действия (принципом Гамильтона). Согласно этому принципу каждая механическая система характеризуется определенной функцией , называемой функцией Лагранжа, причем между двумя определенными положениями, характеризуемыми значениями координат и , система движется таким образом, что интеграл имеет наименьшее возможное значение. Этот интеграл называют действием. Используя принцип наименьшего действия, можно найти уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, т.е. уравнение Лагранжа (). Если функция Лагранжа данной механической системы известна, то эти уравнения устанавливают связь между ускорениями, скоростями и координатами, т.е. представляют собой уравнения движения системы. Функция Лагранжа свободной частицы имеет вид . Для системы невзаимодействующих точек имеем , для замкнутой системы, т.е. системы частиц, взаимодействующих друг с другом, но не взаимодействующих с посторонними телами, функция Лагранжа дается выражением . Тема 2.2 Уравнения Гамильтона Уравнения Гамильтона. Обобщенный импульс. Функция Гамильтона. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби. Ключевые слова: обобщенные координаты, обобщенный импульс, функция Гамильтона, уравнение Гамильтона, уравнение Гамильтона-Якоби. Формулирование законов механики с помощью функции Лагранжа предполагает описание механического состояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей системы. Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов системы. Такой формулировке механики отвечают уравнения Гамильтона , где - функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона ввиду их простоты называют еще каноническими уравнениями. Уравнения Гамильтона – Якоби
,
где .
|