К задаче 4. В большинстве своем рамные системы, применяемые на практике, статически неопределимы

В большинстве своем рамные системы, применяемые на практике, статически неопределимы. Такие системы благодаря имеющимся лишним связям более жестки, в их сечениях возникают меньшие силовые факторы по сравнению с аналогичными, но статически определимыми системами. Характерной особенностью статически неопределимых рам является то, что реакции опор из-за наличия лишних связей не могут быть определены с помощью одних только уравнений статики; для их определения требуется составление дополнительных уравнений, получаемых из рассмотрения деформированного состояния этих систем. Статически неопределимые системы рассчитывают различными методами, но в основу их положен общий метод определения перемещений. Поэтому к решению данной задачи можно приступить после изучения тем 3.8 и 3.9 программы. Особо внимание обратите на определение перемещений способом перемножения эпюр (правило Верещагина).

Условие задачи. Построить эпюры М_х, Q_х, N методом сил для статически неопределимой рамы.

Решение. За основу возьмем статически определимую раму, рассмотренную в предыдущей задаче, и перестроим ее в статически неопределимую. Для этого под свободный конец консоли поставим шарнирно-подвижную опору (рис. 8, а).

Известно, что при выявлении степени статической неопределимости рам удобно пользоваться формулой Л=С_ОП -3, где Л – степень статической неопределимости системы, равная числу лишни связей; С_ОП – число опорных стержней; 3 – число уравнений статики. Поскольку жесткое защемление эквивалентно трем опорным стержням плюс один стержень (подвижная опора), получаем С_ОП = 4. Подставив значения, получим Л = 4 -3 = 1.

Имеем одну лишнюю неизвестную или рама один раз статически неопределима.

Дальнейший расчет ведем методом сил, для чего прежде все необходимо выбрать основную систему. Для этого надо отбросит лишнюю связь и действующую нагрузку. Удачный выбор основной системы значительно упрощает расчет. Для данной задачи наиболее выгодно устранить шарнирно-подвижную опору, получив таким образом геометрически неизменяемую статически определимую консольную раму – основную систему (рис.8, б). Для получения нагруженной системы приложим к основной внешнюю заданную нагрузку и лишнюю пока неизвестную реакцию Х₁ приложенную по направлению отброшенной связи (рис.8, в) и заменяющую действие на раму этой связи. Далее составляем каноническое уравнение для определения Х₁.

которое выражает условие равенства нулю вертикального перемещения точки В от совместного действия неизвестной Х₁ и заданной нагрузки. Перемещения, входящие в канонические уравнения в качестве коэффициентов при неизвестных и свободных членах вычисля­ют, используя правило Верещагина, учитывая, что эпюры, подлежа­щие перемножению, соответствуют индексам при d и D. Вычисляем перемещение δ ₁₁ и ∆ _1р, для чего предварительно строим эпюры М₁ и М_Р.

Рис. 8

а) Эпюра М₁ (рис.8, г). Нагрузим основную систему только силой Х₁ =1. Подобную раму мы уже рассчитывали в предыдущей задаче. Поскольку рама с консолью, то, не определяя опорных реакций в заделке, можно построить эпюру М ходом со свободного конца по характерным точкам. М_В =0; М_С=Х₁l =1·4=4 кН·м;

б) Эпюра M_F (рис.8, д). Нагрузим основную систему только заданной нагрузкой. Эпюра моментов уже построена. Перенесем ее из предыдущей задачи.

По данным построенных эпюр М₁ и М_F находим δ ₁₁ и ∆ _1р

в) δ ₁₁ – перемещение точки В от единичной нагрузки Х₁ =1 по направлению действия силы Х₁ определяется по формуле умножением эпюры М₁ самой на себя; по этой причине δ ₁₁ всегда положительно; ω – площадь эпюры моментов от единичной нагрузки Х₁ =1; у – ордината той же эпюры М₁, лежащая под центром тяжести площади эпюры. Произведение EL_x – жесткость сечения элементов рамы. Считаем ее постоянной для всей рамы.

Имея в виду, что ω _риг – площадь треугольной эпюры М_1риг; ω _риг = 1/2 bh =1/2·4·4; ω _ст = bh= 4·6; у_риг =2, 67 – ордината эпюры М₁, соответствующая положению центра тяжести треугольника; у_ст =4 – соответствующая ордината прямоугольной эпюры М₁ стойки.

г) ∆ _{1 р} – перемещение точки В по направлению действия Х₁ от заданной нагрузки определяется по той же формуле, что и δ ₁₁, но перемножение эпюр М_F и М₁. Перемножая эпюры М₁ и М_F, площади ω возьмем из эпюры М_F, причем, если эпюра имеет сложное очертание, ее необходимо расчленить на простые фигуры, для которых известны формулы площадей и координаты их центров тяжести (приложение8). Эпюру M_Fриг разбиваем на прямоугольник – площадью ω ₁, треугольник – ω ₂ и площадь ограниченную параболической кривой – ω ₃ плюс прямоугольная эпюра на стойке – ω ₄. Ординаты у₁, у₂, у₃, у₄ возьмем на эпюре моментов от единичной нагрузки М₁, расположенные под соответствующими центрами тяжести площадей грузовой эпюры моментов М_F (рис.8 г д).

Поскольку эпюры М₁ и М_F расположены по разные стороны от оси стержня, их произведение берется со знаком минус.

д) Находим Х₁, подставляя полученные δ ₁₁ и ∆ _1р в каноническое уравнение:

Отсюда Х₁ = 616/117, 4 = 5, 25 кН. Положительный результат означает, что направление реакции Х₁ правильно.

е) Строим окончательные эпюры Q_х, М_х и N обычным путем, как в предыдущей задаче, нагрузив основную систему кроме заданной нагрузки уже известной силой

Х₁ = 5, 25 кН.

Ход справа: Q_B =− X₁ =− 5, 25 кН; Q_D^прав=-Х₁+2q= -5, 25 + 4 = - 1, 25 кН

Q_D^лев = -Х₁ + 2q + F = - 5, 5 + 4 + 5 + 3, 75 кН; Q_С = Q_D^лев = 3, 75 кН; Q_А = 0

Строим эпюру Q (рис.8, е) N_риг=0; N_риг=0; N_ст+F+2q− X₁=0, откуда N_ст =− F − 2 q + X₁ =− 5− 4+5, 25=− 3, 75 кН. Знак минус показывает, что стойка сжата. Строим эпюру N (рис.8 ж). Эпюру изгибающих моментов построим другим способом – путем суммирования ординат эпюры M_F с соответствующими ординатами эпюры M₁, умноженными на значение Х₁ =5, 25 кН.

М_В = 0; М_D = + 5, 25 · 2 = 6, 5 кН ·м;

М_С = - 22 + 5, 25 · 4 = - 1 кН·м; М_А = - 1 кН·м

Строим эпюру М_х (рис.8, к). Чтобы убедиться в правильности построения эпюры М_х, нужно вычислить перемещение точки В по направлению отброшенной связи. Для этого необходимо перемножить окончательную эпюру М_х и М₁. Если найденное перемещение равно нулю, то эпюра М_х построена правильно. Учащимся предлагается сомостоятельно выполнить эту проверку. Жесткость узла С проверяется по аналогии с предыдущей задачей. Достаточно взглянуть на чертеж узла С с приложенными к нему внутренними силовыми факторами (рис. 8 л), чтобы убедиться в равновесии узла, не составляя уравнений равновесия. При сравнении эпюр статически определимой рамы с окончательными эпюрами статически неопределимой видно, что у последней внутренние силовые факторы М, Q, N получились меньшими, о чем и говорилось вначале.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ