К задаче 4

Для решения данных задач необходимо изучить тему 2.5 «Изгиб прямого бруса» программы, научиться быстро и безошибочно строить эпюры поперечных сил Q_х и изгибающих моментов М_х.

Поперечная сила в рассматриваемом сечении численно равна алгебраической сумме проекций на ось, перпендикулярную оси балки всех, действующих по одну сторону от этого сечения.

Если при определении поперечной силы рассматривается левая отсеченная часть балки, то внешние силы, направленные вверх, надо принимать со знаком плюс, а вниз − со знаком минус, при рассмотрении же правой отсеченной части − наоборот. Для построения эпюры Q_x проводят нулевую линию под изображением балки. Тогда каждому сечению балки соответствует определенная точка этой линии. Положительные значения поперечных сил откладывают в принятом масштабе перпендикулярно нулевой линии вверх от нее, отрицательные − вниз. В сечениях с сосредоточенно приложенной силой на эпюре Q_x возникает скачок (два значения − слева и справа от сечения), по абсолютному значению равный сосредоточенной силе.

Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести данного сечения. Моменты, вызывающие растяжение нижних волокон, считают положительными, а верхних − отрицательными. Из этого правила знаков вытекает, что если моменты внешних сил стремятся повернуть левую отсеченную часть балки относительно центра рассматриваемого сечения по часовой стрелке, то эти моменты надо брать со знаком плюс, а против часовой стрелки − со знаком минус; при рассмотрении же правой части − наоборот. При построении эпюры М у строителей принято: ординаты, выражающие в определенном масштабе значения изгибающих моментов, откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. положительные − вниз, отрицательные − вверх от оси балки. Два значения изгибающего момента появляются в сечениях, где приложен сосредоточенный момент (пара сил). На эпюре соответственно возникает скачок, равный сосредоточенному моменту.

Большое внимание должно быть уделено изучению дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом, а также следствий, вытекающих из этих зависимостей, которые используют как при построении эпюр Q и М, так и для проверки уже построенных эпюр. Построенные эпюры Q и М заштриховываются прямыми линиями, перпендикулярными нулевой линии. Каждый штрих таким образом характеризует значение внутреннего силового фактора Q_x или М_х действующих в данном сечении балки. Знак на эпюре Q_x ставится всегда, а на эпюре М_х знака можно не ставить, так как она всегда строится со стороны растянутых волокон.

Условие задачи. Построить эпюры внутренних силовых факторов (М_х и Q_х) для балок, изображенных на рис. 7, а, 8, а.

Схемы балок взяты из примера к задаче 2 (см. рис. 4 и 5), где были определены опорные реакции и выполнена проверка правильности их определения (первая стадия расчета балочных систем). На втором этапе выполняется построение эпюр изгибающих моментов М_х и поперечных сил Q_{х .} Основываясь на расчете, выполненном в задаче №2, решение данной задачи следует начинать сразу со второго этапа.

Решение. Сначала построим Q_х.

Из теоретического курса известно, что на участке балки с равномерно распределенной нагрузкой эпюра Q_х ограничивается наклонной прямой, а на участке, на котором нет распределенной нагрузки, − прямой, параллельной оси, поэтому для построения эпюры перечных сил достаточно определить значения Q_x в начале и конце каждого участка.

Рис. 7

В сечении, соответствующем точке приложения сосредоточенной силы, поперечная сила должна быть вычислена чуть левее этой точки (на бесконечно близком расстоянии от нее) и чуть правееее; поперечные силы в таких местах обозначаются соответственно Q_x^лев и Q_x^прав.

Строим эпюру Q_x методом характерных точек, ходом слева.

а) Для двухопорной балки такими точками будут С и D − начало и конец распределенной нагрузки, а также А и В − точки приложения опорных реакций, Е − точка приложения сосредоточенной силы. Проведем мысленно ось у перпендикулярно оси балки через точку С и не будем менять ее положение, пока пройдем всю балку от С до Е. Рассматривая левые отсеченные по характерным точкам части, балки проецируем на ось удействующие на данном участке силы с соответствующими знаками. В результате получаем:

Q_С = 0;

Q_А^лев = - q·a = - 10 · 0, 5 = - 5 кН

Q_А^прав = Q_А^лев +V_А = - 5 + 13, 3 = 8, 3 кН

Q_D = V_А – q(а + b)= 13, 3 – 10 (0, 5 +2, 5)= - 16, 7 кН

Q_В^лев = Q_D = - 16, 7 кН

Q_В^прав = Q_В^лев + V_В = - 16, 7 + 31, 7 = 15 кН

Q_Е^лев = Q_В^прав = 15 кН

Для проверки правильности определения поперечной силы в сeчениях, пройдите балку аналогичным образом, но с правого конца.

Тогда отсеченными будут правые части балки. Помните, что правило знаков при этом изменится. Результат должен получиться тот же.

Совпадение результатов может служить контролем построения эпюры Q_х. Проводим нулевую линию под изображением балки и от нее в принятом масштабе откладываем найденные значения поперечных сил с учетом знаков в соответствующих точках. Получим эпюру Q_x (рисунок 7, б).

б) Для консольной балки (рис.8, а) характерные точки: А − точка приложения опорной реакции V_a; С − точка приложения сосредоточенной силы, D, В - начало и конец распределенной нагрузки. Для консоли поперечная сила определяется аналогично двухопорной балке. Итак, при ходе слева:

Q_А^прав = V_A= 10 кН; Q_С^прав=V_A − F= 10 − 8=2 кН;

Q_C^лев = Q_А = 10 кН; Q_D= Q_С^прав = 2 кН;

Q_В= Q_D – qc=2− 2× 1 =2− 2=0

Рис. 8

Строим эпюру Q_х по полученным значениями поперечных сил (рисунок 8, б). Построив эпюру, обратите внимание на следующее: эпюра под распределенной нагрузкой изображается наклонной прямой, под ненагруженными участками − отрезками, параллельными нулевой линии, под сосредоточенной силой на эпюре образуется скачок, равный значению силы. Если наклонная линия под распределенной нагрузкой пересекает нулевую линию, отметьте эту точку, она пригодится для эпюры изгибающих моментов. Сосредоточенный момент па эпюре Q_x себя никак не проявляет, так как сумма проекции сил образующих пару, равна нулю.

Строим эпюру изгибающих моментов, как и поперечных сил, методом характерных точек, ходом слева.

Известно, что на участке балки с равномерно-распределенной нагрузкой эпюра изгибающих моментов очерчивается кривой линией (квадратичной параболой), для построения которой надо иметь не менее трех точек и, следовательно, должны быть вычислены значения изгибающих моментов в начале участка, конце его и в одном промежуточном сечении.

Такой промежуточной точкой лучше всего взять сечение, в котором эпюра Q_x пересекает нулевую линию, т. е. где Q_х = 0. На эпюре М_х в этом сечении должна находиться вершина параболы. Если же эпюра Q_x не пересекает нулевую линию, то эпюру М_х можно строить по двум точкам (начала и конца действия распределенной нагрузки), помня, что выпуклостью парабола всегда обращена вниз, если нагрузка действует сверху вниз. Существует старое правило «дождя», которое очень помогает при построении параболической части эпюры М_х. Для строителей это правило выглядит следующим образом: представьте, что распределенная нагрузка — это дождь, подставьте под него зонт в перевернутом виде, так чтобы дождь не стекал, а собирался в нем. Тогда выпуклость зонта будет обращена вниз. Точно так и будет выглядеть очертание эпюры моментов под распределенной нагрузкой.

Если требуется более точное построение эпюры, то должны быть вычислены значения изгибающих моментов в нескольких промежуточных сечениях. Условимся для каждого такого участка изгибающий момент сначала определять в произвольном сечений, выражая его через расстояние х от какой-либо точки. Затем, давая расстоянию х ряд значений, получим значения изгибающих моментов в соответствующих сечениях участка. Для участков, на которых нет распределенной нагрузки, изгибающие моменты определяют в двух сечениях, соответствующих началу и концу участка, так как эпюра M_х на таких участках ограничивается прямой. Если к балке приложен внешний сосредоточенный момент, то обязательно надо вычислять изгибающий момент чуть левее места приложения сосредоточенного момента и чуть правее его.

а) Для двухопорной балки характерные точки следующие: С и D − начало и конец распределенной нагрузки; А − опора балки; В − вторая опора балки и точка приложения сосредоточенного момента; Е − правый конец балки; точка К, соответствующая сечению балки, в котором Q_x= 0.

Ход слева. Правую часть до рассматриваемого сечения мысленно отбрасываем (возьмите лист бумаги и прикройте им отбрасываемую часть балки). Находим сумму моментов всех сил, действующих слева от сечения относительно рассматриваемой точки.

Итак,

М_С= 0

М_А = − qa a/2 = − 10× 0, 5× 0, 25 = − 1, 25 кН× м.

Прежде чем определить момент в сечении К, необходимо найти расстояние стояние х=АК. Составим выражение для поперечной силы в данном сечении и приравняем его нулю (ход слева)

Q_K=− qa + V_A − qx = 0, откуда:

x = (− qa + V_A)/q =(− 10× 0, 5+13, 3)/10 =0, 83 м.

Это расстояние можно найти из подобия треугольников KLN и КIG на эпюре Q_x (рис. 7, б).

Определяем момент в точке К

М_К = − q(a + x)²/ 2 + V_A = − 10 (0, 5+0, 83)²/2+13, 3× 0, 83=2, 2 кН× м

М_D= V_A^b− Q (a+b) ² / 2 =13, 3 × 2, 5 – 30 (0, 5+2, 5)²/2 = − 11, 7 кН× м;

Пройдем оставшуюся часть балки ходом справа, учитывая при этом изменения в правиле знаков:

М_Е= 0;

М_B^прав = − Fd=− 15× 1, 0= − 15 кН× м;

М_В^лев = М_В^прав − М = − 15 − 5= − 20 кН× м;

M_D = − F (c + d) – M+V_B с = − 15 (0, 5+1, 0) − 5 + 31, 7× 0, 5= 11, 7 кН× м.

Как видим, момент в сечении D при ходе слева и справа получился одинаковый − эпюра замкнулась. По найденным значениям строим эпюру.

Положительные значения откладываем вниз от нулевой линии, а отрицательные − вверх (рис. 7, в).

Для консольной балки эпюра изгибающих моментов строится аналогично предыдущему построению.

Характерные точки для этой балки (рис. 8, а) следующие: А – опора; С − точка приложения сосредоточенного момента и силы F; D и B – начало и конец действия равномерно распределенной нагрузки. Поскольку эпюра Q_x на участке действия распределенной нагрузки нулевую линию не пересекает, эпюру моментов на данном участке можно строить по двум точкам D и В. Ход слева:

М_А= − М_А = − 17 кН× м;

М_С^лев = − М_А + V_A a – 17+10× 0, 5 = − 12 кН× м;

М_С^прав = − М_А + V_A a + М = − 17+10× 0, 5+10 = − 2 кН× м;

М_D= − М_А + V_A (a + b)+ М− Fb = − 17+10 (0, 5+0, 5) + 10 − 8× 0, 5 = − 1 кН× м.

Ходом справа находим М_В =0.

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов (рисунок 8, в).