Задача РГР № 1

При помощи стержневого устройства АВС (в точках А, В и С соединения шарнирные) удерживаются в равновесии два груза. Определить:

I) реакции стержней, удерживающих грузы. Массой стержней пренебречь;

II) из условия прочности размеры поперечного сечения стержней кронштейна в форме: круга и уголка по ГОСТ 8509-86 г., если [σ ]=140 МПа.

Дано: G ₁=80 кН; G ₂=60 кН. Найти: R _A, R _C; А.

Решение I:

1. Рассматриваем равновесие шарнира В.

2. Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей.

3. Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В:

∑ F_{k x}=0; ∑ F_{k x}=- F ₁cos70⁰+ R _Ccos20⁰+ R _A=0;

∑ F_{k y}=0; ∑ F_{k y}=- F ₁sin70⁰+ F ₂+ R _Csin20⁰=0;

R _C=(F ₁sin70⁰- F ₂)\sin20⁰=(80·0, 9397-60)\0, 3420=44 кH;

R _A= F ₁cos70⁰- R _Ccos20⁰=80·0, 3420-44·0, 9397=-14 кH.

4. Проверяем правильность полученных результатов, решая задачу графически.

Для построения силового многоугольника выбираем масштаб .

Из произвольной точки В строим в следующем порядке:

· ВD=F ₁; DC=F ₂

· Из точек В и С проводим прямые, параллельные положениям стержней А и С. Эти прямые пересекаются в точке А так, что CA=R_C, AB=R_A;

отсюда R_C = CA · _F =4, 4·1=44 кН; R_A = AB · _F= 1, 4·1=14 кH.

Решение II:

1. Стержень – прямой брус, работающий на растяжение или сжатие.

N _А= R_A =-14 кH - сжатие; N _С= R_C =44 кH – растяжение.

2. Из условия прочности находим площади поперечных сечений стержней:

N_max =ç N _Сú =44 кH=44000 Н; N_min =ç N _Aú =14 кH=14000 Н;

А _C= N_С \[σ ]=44000\140=314, 3 мм²=3, 14 см²;

А _А= N_А \[σ ]=14000\140=100 мм².

3. Определяем диаметр стержня АВ =11, 3 мм; d =12 мм;

выбираем для стержня СВ по ГОСТ 8509-86 уголок № 4, 5; А =3, 48 см².

ОТВЕТ: R_A =-14 кH; R_C =44 кH; d _А=12 мм; стержня С - уголок № 4, 5.

Задача РГР № 2

Для двухопорной балки, нагруженной сосредоточенными силами F ₁, F ₂ и парой сил с моментом М определить:

I) реакции опор балки;

II) размеры поперечного сечения балки в форме круга, приняв [ σ ]=160 МПа.

ДАНО: F ₁ =15 кН; F ₂ =4 кН; М =2 кН∙ м. Найти: R _A, R _В; А.

РЕШЕНИЕ I:

1. Изобразим балку с действующими на нее нагрузками. Строим расчетную схему балки.

2. Составляем уравнения равновесия и определяем неизвестные реакции опор:

∑ M _A(F _k)=0, F ₂· AC+R _By· AB+M =0;

R _By=(F ₂·3 -M)/4; R _By=(-4·3-2)/4=-14/4=-3, 5 кН.

∑ F_{k y}=0, R _Ay+ F ₁ +F ₂ +R _By=0, R _Ay=- F ₁- F ₂ -R _By=-15-4+3, 5=-15, 5 кН.

3. Проверяем правильность найденных результатов:

∑ M _B(F _k)=- R _Ay· AB-F ₁· АB+M-F ₂· BD =15, 5·4-15·4+2-4·1=0.

РЕШЕНИЕ II:

1. Делим балку на участки по характерным точкам: AC, CB, DB.

2. Определяем ординаты и строим эпюру Q _y:

AC, сечение I-I, справа Q _y1= R_{A y}+ F ₁=-15, 5+15=-0, 5 кН.

CВ, сечение II-II, справа Q _y2= R_{A y}+ F ₁+ F ₂=-15, 5+15+4=-3, 5 кН.

DВ, сечение III-III, слева, Q _y3=0 кН.

3. Определяем ординаты и строим эпюру М _х:

AC, сечение I-I, справа, 0£ z₁£ 3 м, М _х1= R _Ay· z ₁+ F ₁· z ₁,

при z ₁=0 М _х1=0; при z ₁=3 м М _х1=-15, 5·3+15·3=-1, 5 кН∙ м.

CВ, сечение II-II, справа, 0£ z₂£ 1 м, М _х2= R _Ay·(3+ z ₂)+ F ₁·(3+z₂)+ F ₂· z ₂,

при z₂=0 М _х2=-1, 5 кН∙ м; при z₂=1 м М _х2=-15, 5·4+15·4+4·1=2 кН∙ м.

DB, сечение III-III, слева, 0£ z ₃£ 1 м, М _х3= М =2 кН.

4. Проверяем правильность построения эпюр на участке AС:

dМ _х1/ dz = d (R _Ay· z ₁+ F ₁· z ₁)/ dz = R _Ay+ F ₁= Q _y1=-0, 5 кН.

5. Исходя из эпюры М _х: ê М _{х max}ú =2, 0 кН·м=2, 0·10⁶ Н·мм.

6. Определяем осевой момент сопротивления сечения:

W _x≥ ê М _{х max}ú /[ σ ]≥ 2000000/160≥ 12500 мм³.

7. Находим диаметр поперечного сечения балки:

=50мм. Принимаем d =50 мм.

ОТВЕТ: R _B=-3, 5 кН; R _A=-15, 5 кН; d =50 мм.