Примеры решения задач. Задача 30. Пусть . Найти условные вероятности и .

Задача 30. Пусть . Найти условные вероятности и .

Решение. Если , то АВ = А, поэтому , что, впрочем, и так ясно, а . События А и В зависимы.

Задача 31.. События А и В несовместны, р (А) ¹ 0, р (В) ¹ 0. Зависимы события А и В или нет?

Решение. Если А и В несовместны, то АВ = и р (АВ) = 0 ¹ р (А) ·р (В).

Несовместные события исключают друг друга и поэтому всегда зависимы.

Задача 32. А и В – несовместные события. Чему равна условная вероятность ?

Решение. Так как АВ = по условию, то А (А + В) = А. Значит,

.

Задача 33.. Доказать, что если события А и В независимы, независимы также события и , и , и .

Решение. Дано, что р (АВ) = р (А) р (В). Требуется доказать, что

; ; .

Так как , события и - несовместны, то

.

Точно также доказывается, что . Далее из равенства следует, что .

Доказанные формулы легко переносятся на случай n событий, независимых в совокупности.

Задача 34. События независимы в совокупности. Найти вероятность суммы событий .

Решение. Обратимся к противоположному событию. Событию {произошло хотя бы одно из событий } противоположно событие {ни одно из событий не произошло}, т.е. событие = . Тогда

р () = 1 - р () = 1 -

в силу независимости событий .