Доказательство

Для абсолютно твердого тела имеем:

;

Проецируем это равенство на прямую LM, проходящую через точки А и B

Пр_LM

Пр_LM , т.к. вектор перпендикулярен прямой LM.

Следовательно, Пр_LM , что и требовалось доказать.

Билет № 14 (Теорема о распеделении ускорений в свободном теле. Формула Ривольса)

Теорема: Ускорение произвольной точки тела при плоском движении равняется геометрической сумме векторов ускорения полюса, вращательного и осестремительного ускорения.

;

Билет №15 (Поступательное движение тела. Кинематическое уравнение его движения)

Поступательное движение – движение абсолютно твердого тела называется поступательным если любой отрезок проведенный в теле движется параллельно своему первоначальному движению.

Теорема (о поступательном движении тела) (Рис 1)

При поступательном движении абсолютно твердого тела траектории всех его точек при наложении совпадают, а скорость и ускорение всех точек равны между собой. Проведем в теле произвольный отрезок АВ. Точки А и В произвольные.

Согласно определению траектории точки В получается из проекции точки смещением на постоянный вектор . Следовательно траектория точек и совпадают при наложении.

Найдем скорость и ускорение:

; ;

По определению поступательного движения , следовательно

; дифференцируя по времени находим

ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ! =-)

Билет №16 (Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Скорость и ускорение этого тела)

(Рис 1) Вращением тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором какие либо две точки тела остаются неподвижными.

Можно показать, что при этом все точки на оси, проходящей через две закрепленные точки, остаются неподвижными.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Выберем произвольную точку А на неподвижной оси. Для любой точки В, находящейся не на оси имеем:

; но V_A=0 по построению, следовательно (формула Эйлера)

Постоим связанную с телом систему координат в точке А. Ось А неподвижна и направлена по неподвижной оси: - единичные векторы, направленные вдоль осей связанной системы.

Тогда согласно распределению скоростей в абсолютно твердом теле имеем следующие значения составляющих угловой скорости:

; ; ; то есть

; произведение модуля угловой скорости вращение на расстояние от точки В до вращения

Вектор – вектор углового ускорения

(Рис 2)

Билет № 17 (Плоское движение твёрдого тела. Мгновенный центр скоростей. Способы нахождения мгновенного центра скоростей)

Плоским движением абсолютно твёрдого тела называется такое движение, при котором любая точка тела остается в плоскости, параллельной некоторой заданной плоскости. При этом достаточно рассматривать движение сечение твёрдого тела, которое параллельно некоторой плоскости: все остальные движения такие же.

Рассмотрим движение некоторого сечения абсолютно твердого тела (плоской фигуры), которое параллельно плоскости экрана.

Для любой точки В рассмотренного сечения имеет место:

При этом вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости экрана:

;

Мгновенным центром скоростей плоской фигуры называется точка на плоскости, связанной с этой фигурой, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Теорема: Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то мгновенный центр скоростей всегда существует и определяется единственным способом.

Доказательство существования А:

1) Если скорость произвольной точки А в данный момент времени равна нулю, то мгновенный центр скоростей – эта точка.

2) Если , рассмотрим некоторую точку. Для скорости точки имеем:

Выберем ;

;

; ; P – МЦС

;

;

; то ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ!

Билет № 18 (Углы Эйлера. Кинематические уравнения Эйлера)

Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие названия:

- угол собственного вращения;

- угол процессии;

- угол нутации;

Чтобы знать движение тела, надо знать его положение по отношению к осям в любой момент времени т.е. знать зависимость:

1, 2, 3 – индексы

Эти уравнения определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения твердого тела вокруг неподвижной точки.