Методология

3.1. Расчёт спектральной плотности мощности

В последнее время наиболее часто используется определение спектральной плотности мощности, основанное на непосредственном преобразовании Фурье исследуемой реализации:

(1)

где

М – оператор статистического усреднения.

Из данного определения оценка спектральной плотности мощности может быть получена в следующем виде

(2)

где

Здесь – это односторонняя спектральная плотность, поэтому в приведенном выражении стоит цифра 2.

Основные свойства этой оценки:

(3)

т. е. данная оценка является асимптотически несмещенной.

Дисперсия данной величины

(4)

Это значит, что асимптотически несмещенная оценка не является состоятельной. Другими словами, средняя квадратическая погрешность данной оценки равна 1 или 100 %.

Преодолеть возникшие трудности можно воспользовавшись некоторыми свойствами самой функции часто называемой периодограммой. Во-первых, она является случайной функцией частоты. При этом интервал корреляции по частоте составляет величину, примерно равную При случайные величины и с увеличением интервала Т становятся все менее коррелированными, т. е.

(5)

Это обстоятельство и лежит в основе получения состоятельных оценок спектральной плотности мощности, т. е. путем сглаживания (усреднения) оценки по сравнительно небольшому интервалу частот может быть получена оценка с убывающей дисперсией, хотя и с некоторым смещением.

Для того, чтобы по отсчетам обрабатываемого сигнала можно было бы получить спектральные оценки в соответствующих единицах энергии или мощности, необходимо выражение для прямого ДПФ умножить, а для обратного ДПФ разделить на интервал дискретизации  t:

(6)

(7)

где – интервал наблюдения (длительность обрабатываемой реализации).

В этом случае оценка спектральной плотности мощности будет определяться следующим образом:

(8)

где

Эта оценка называется выборочным спектром, периодограммой Шустера или просто периодограммой.

Данная оценка также не является состоятельной оценкой истинной спектральной плотности мощности (СПМ), так как дисперсия этой величины не стремится к нулю ни при каком сколь угодно большом значении N. Вследствие этого для получения состоятельных оценок требуется выполнение операции статистического усреднения. В этом случае будем иметь

(9)

Для расчетов используется выражение

(10)

которое называют исходной немодифицированной формой периодограммной оценки СПМ.

Для сглаживания периодограммной оценки используются три основных метода: метод Даньелла (Даниелла), Бартлетта и Уэлча.