Методика расчета переходного процесса в линейной электрической цепи классическим методом.

Расчет динамических режимов линейных электрических цепей

Общие положения

Переходные процессы возникают в электрических цепях при раз­личных коммутациях, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях, при подаче скачкообразно изменяющихся токов и напряжений и т.д.

Отметим, что физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них индуктивности и емкости. Объясняется это тем, что энергия маг­нитного и электрического полей этих эле­ментов не может изменяться скачком.

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальными урав­нениями. В дальнейшем ограничимся расчетом переходных процессов в ли­нейных цепях, содержащих элементы с постоянными параметрами.

Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянны­ми параметрами разработаны различные аналитические методы: клас­сический, операторный, метод интеграла Фурье и др.

При решении пользуются допущениями, которые называются «Законы коммутации»:

1-ый закон коммутации: - ток через индуктивность не меняется скачком;

2-ой закон коммутации: - напряжение на емкости не меняется скачком.

Далее рассмотрим расчет в электрической цепи классическим методом, который обычно применяется для расчета переходного процесса в простых линейных электрических цепях постоянного и синусоидального тока.

Методика расчета переходного процесса в линейной электрической цепи классическим методом.

3.2.1. Составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, описываю­щих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

При составлении уравнений пользуются следующими соотношениями:

, , .

3.2.2. Составить общее решение полученного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного ре­шения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установив­шийся режим в рассматриваемой цепи. Токи и напряжения установившегося режима обозначают i _у и и_у.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описы­вает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который называют свободным процессом.Токи и напряжения свободного процесса обозначают i _св и u _св

Таким образом, искомый ток или напряжение имеет вид

, . (1)

Далее все выкладки будут приведены на примере тока, а для напряжений получаются аналогичные выражения.

3.2.3. Ток установившегося режима i _у определяется любым из ранее изученных методов расчета, т.к. предыдущие занятия были посвящены методам расчета установившихся режимов линейных электрических цепей.

3.2.4. Свободный ток будет иметь вид: .

Для нахождения корней, число которых равно порядку однородного дифференциального уравнения, характеристического уравнения p воспользуемся простейшим методом:

- составим выражение полного комплексного сопротивления для послекоммутационной цепи Z (j ω).

- заменим в данном выражении j ω на p и приравняем полученное выражение к нулю;

- из характеристического уравнения Z (p) = 0 найдем искомое p.

3.2.5. Для нахождения постоянных интегрирования A, число которых равно порядку однородного дифференциального уравнения, найдем независимые начальные условия i _L(0), u _C(0), используя которые, решим уравнение (1) для t = 0. При этом делаем допущение, что ключи идеальны, т.е. коммутация происходит мгновенно без учета возможных искровых и дуговых явлений.

3.2.6. В качестве ответа записывают полученную по выражению (1) функцию i (t) и её график в диапазоне от нуля до (3…5)τ, где - постоянная времени переходного процесса.

Пример расчета переходного процесса в линейной электрической цепи классическим методом

задание

Задана схема цепи, в которой происходит коммутация: отключение катушки, подключенной к зажимам ab, с параметрами R К, L К и шунта R Ш от источника постоянной ЭДС. Дано: Е =12 В, R К=1 Ом, L К= 1 Гн, R Ш=1 кОм. Требуется: а) Рассчитать ток и напряжение на катушке i К(t), u К(t); б) Построить графики i К(t), u К(t); в) Проанализировать переходный процесс с точки зрения опасности выхода из строя оборудования, если предельные допустимые ток и напряжение катушки 50А и 1200В.

выполняем п. 3.2.1

Сразу после коммутации в цепи (размыкания ключа «К») неизменным, по закону коммутации, остается только ток iК. Ток i падает до нуля, ток iШ изменяется по направлению и становится равным iК. Поэтому для нахождения единственного тока составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура К1: . (2) За переменную принимаем ток iК, т.к. он протекает через индуктивность и, следовательно, является независимой переменной: . (3)

выполняем п. 3.2.2

Искомый ток будет иметь следующий общий вид: i К = i Ку + i Ксв. (4)

выполняем п. 3.2.3

Найдем i Ку. Установившийся ток i Ку находят любым из ранее изученных методов. Можно использовать выражение (2), описывающее данный контур в любом режиме и переписать его в комплексной форме . Т.к. E – источник постоянной ЭДС, то ω = 0, следовательно и X К = ω L К = 0. По той же причине далее будем записывать не комплексный ток, а действующее значение тока . Таким образом, i Ку=0.

выполняем п. 3.2.4

Свободный ток будет иметь вид: . Найдем p – корень из характеристического уравнения . Для чего составим выражение полного комплексного сопротивления Z (jω) для послекоммутационной цепи: , заменим jω на p и приравняем к нулю, получим характеристическое уравнение , откуда с-1.

выполняем п. 3.2.5

Найдем А – постоянную интегрирования из уравнения (4) при t = 0. Она будет одна, т.к. уравнение переходного процесса (3) первого порядка относительно искомого тока. Для этого найдем независимые начальные условия i L(0), u C(0). В нашем случае i К(0). Т.к. по первому закону коммутации , то найдем ток через индуктивность до коммутации i К(0-), который примем за i К(0). До коммутации (до размыкания ключа) был установившийся режим (см. рис. 3.1), поэтому . Т.к. E – источник постоянной ЭДС, то ω = 0, следовательно и X К = ω L К = 0. Следовательно, А, т.е. i К(0) = 12 А. Теперь используя выражение (4) для t = 0 находим A: i К(0) = i Ку(0) + i Ксв(0) → 12 = 0 + А∙ е -1001∙ 0 → А = 12.

выполняем п. 3.2.6

Искомый ток i К = 0 + 12 ∙ е -1001∙ t = 12 ∙ е -1001∙ t А. Искомое напряжение uK – это напряжение между узлами ab (рис. 3.2). Которое можно найти, используя одно из выражений: или . Второй вариант проще: u К= i К∙ R Ш=1000∙ 12 ∙ е -1001∙ t = 12000 ∙ е -1001∙ t В. (5) Постоянная времени с. Строим графики зависимостей i К(t), u К(t) на интервале 0-5τ.   Анализ графиков показывает, что ток i К(t) плавно уменьшается от установившегося тока в 12А до нуля за время 5τ. Напряжение u К(t) в момент t=0 резко увеличивается от 12В до коммутации до 12000В сразу после коммутации, а затем плавно уменьшается до нуля. Таким образом, по току переходный процесс не опасен, но напряжение достигает опасных для устройства значений. Следовательно, необходимо предусмотреть меры по уменьшению напряжения u К(t), особенно в начальный момент времени. Проанализировав выражение (5) делаем вывод, что начальное напряжение катушки u К(0) зависит от тока i К и сопротивления R Ш. Обычно параметры катушки нельзя менять, т.к. они определяются техническими требованиями к ней, а сопротивление R Ш специально используется для разряда катушки при размыканиях ключа (если его убрать, то R Ш→ ∞ и u К(0)→ ∞). Таким образом, уменьшая сопротивление R Ш уменьшаем и u К(0). Если R Ш≤ 100Ом, то u К(0)≤ 1200В.   * R Ш является балластом при замкнутом ключе, т.е. уменьшает КПД всей установки, поэтому нельзя выбирать R Ш → 0. * При расчете быстродействующих устройств появляется дополнительное ограничение по τ max.