Критерий устойчивости Михайлова.

Это графический критерий. Он предложен в 1938 г. советским ученым А.В.Михайловым и также основан на рассмотрении характеристического полинома D (λ). Подставим в этот полином вместо λ мнимую переменную jw. В результате получим комплексную функцию.

D(jw) = U_D(W) + jV_D(W)

Здесь U_D(W) - действительная часть, полученная из членов D (λ), содержащих четные степени λ, а V_D – мнимая часть, полученная из членов D (λ) с нечётными степенями.

Изобразим D(jw) в виде годографа на комплексной плоскости. Этот годограф называется годографом Михайлова. Каждому значению W соответствуют определенные значения U_D(W) и V_D(W) и определенная точка на плоскости. При W =0 функция D(jw), т.е. годограф начинается, на действительной оси. При W→ ∞ функция D(jw) тоже неограниченно возрастает. Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой

Рис.1

стрелки начало координат, проходя последовательно n - квадрантов, где n - порядок системы.

На рис. годограф I относится к устойчивой, а годографы 3, 4, 5 к неустойчивым системам. Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа через начало координат, кривая 2. Действительно, в этом случае существует значение W, при котором D(jw) = 0, т.е. характеристическое уравнение системы имеет пару сопряженных мнимых корней λ =±jw. Это означает наличие в системе незатухающих колебаний, т.е. нахождение её на границе устойчивости.

При практическом построении годографа D(jw) прежде всего находят точки его пересечения с координатными осями. Для этого, определив из уравнения U_D(W) = 0 значения частот, соответствующих точкам пересечения годографа D(jw) с мнимой осью, подставляют их в выражение V_D(W). В результате получают соответствующие ординаты. Аналогично находят точки пересечения D(jw) с действительной осью, приравнивая нулю мнимую часть V_D(W) и подставляя затем найденные при этом значения W в выражение для U_D(W).