Векторные дифференциальные операции второго порядка.Оператор Лапласа.

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка: div grad U, rot grad U, grad div ā, div rot ā, rot rot ā;.

(Понятно, что операция div div ā, например, не имеет смысла:

div ā; - скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о div div ā;, бес­

смысленно.)

Запишем явные выражения для дифференциальных операций вто­

рого порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что

оператор действует только на множитель, расположенный непосред­

ственно за оператором.

1.

Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается ∆ U. Таким образом,

(1)

Дифференциальное уравнение Лапласа ∆ U = 0 играет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.

Замечание. К равенству (1) можно прийти, введя в расмотрение скалярный оператор дельта:

(которые тоже называют оператором Лапласа).

2. , так как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.

3. .

4. , так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря - соленоидальное.

5. , так как двойное векторное произведение обладает свойством

Здесь - векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору