Дифференциальные операции первого порядка. Специальные виды векторных полей. Оператор Гамильтона.

Основными дифференциальными операциями над скалярным полем U векторным полем являются gradU, div , rot .Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).Эти операции удобно записывать с помощью, так называемого оператора Гамильтона.

𝛁 =

Этот символический вектор называют также оператором 𝛁 (читается «набла»)он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора 𝛁 на скаляр Uили вектор производится по обычнымправилам векторной алгебры, а «умножение» символов , , навеличины U, Р, Q, R понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

1. 𝛁 U=()*U= = grad U.

2. 𝛁 =()*(P* +Q* +R* )= =div .

3. 𝛁 × = =rot .

Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилам и векторной алгебры правилами дифференцирования. В частности, производная по направлению может быть записана в виде

, где =(cosa; cosβ; cosγ)