Дuвергенцией (или расходимостью) вектороного поля. Свойства дивергенции.

в точке М называется скаляр вида и обозначается

символом div а (М), т. е.

Отметим некоторые свойства дивергенции.

1. Если а - постоянный вектор, то div а = 0.

2. div(с·а) = с · div а, где с = const.

3. div(a + b) = div a +div b, т. е. дивергенция суммы двух векторных

функций равна сумме дивергенции слагаемых.

4. Если U - скалярная функция, а - вектор, то

div(U · а) = U· div а + а grad U.

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем

известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса

Рассматривая область V, ограниченную замкнутой поверхностью

S, в векторном поле, можно утверждать, что левая часть формулы

есть поток вектора а через поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора а. Следовательно,

формулу можно записать в виде

Формула Остроградского-Гаусса означает, что потока векторного поля через замкнутую nоверхностъ S (в направлении внешней нормали т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля

По обьему V, ограниченному данной повыерхностью.

Используя формулу, можно дать другое определение дивергенции векторного поля а (М) в точке М(не связанное с выбором координатных

осей).По теореме о среднем для тройного интеграла имеем:

где Мо - некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу можно переписать в виде . Отсюда

Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда

и мы получаем выражение для div a (M) в точке М:

Диверегенцией векторного поля в точке М называется предел

отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую

точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при

условии, что вся поверхность стягивается в точку М (V → О).