Кручение.

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях вала действует только крутящий моментвнт – чистое кручение.

Рис. 4.10. Деформация кручения

Из рисунка 4.10 видно, что при кручении имеет место взаимный поворот параллельных сечений, ограничивающих выделенный элемент, относительно общей, нормальной к ним оси. Схема деформации аналогична чистому сдвигу. Наиболее простым является решение задачи о кручении стержней кругового профиля. При чистом кручении внутренние силы и соответствующие им напряжения лежат в сечении, то есть являются касательными.

Крутящий момент является статическим эквивалентом внутренних усилий, распределенных по определенному закону:

.

В соответствии с гипотезой плоских сечений поперечные сечения стержня круглого сечения при кручении остаются плоскими и радиусы в поперечных сечениях остаются прямолинейными.

Из исунка 4.10 имеем с одной стороны , а с другой . Следовательно и

Согласно закону Гука при сдвиге , и с учетом последней формулы получаем

Так как множитель для всех точек сечения одинаков, следовательно, напряжения прямо пропрциональны радиусу , то есть изменяются по линейному закону.

Выражение для момента можно записать в виде

.

Интеграл является геометрической характеристикой сечения, называемой полярным моментом инерции , то есть . Учитывая, что , получим

, откуда ,

где – полярный момент сопротивления сечения (для круглого стержня , ).

В результате условие прочности при кручении

.

Формула для проектного расчета

.

Угол закручивания

,

где – длина бруса (стержня); – жесткость при кручении.

Условие жесткости при кручении

,

где – допускаемый угол зактучивания погонного метра стержня, рад/м.

Изгиб.

Изгибом стержня называется изменение кривизны его продольной оси. Изгиб яляется плоским, если ось стержня остается кривой линией, расположенной в одной плоскости. Изгиб при отсутствии поперечной силы называется чистым. Изгиб при наличии поперечных сил называют поперечным изгибом.

Чистый прямой изгиб характеризуется тем, что на выпуклой стороне волокна растягиваются, а на вогнутой – сжимаются. Свойства бруса при растяжении и сжатии одинаковы (на основании допущения об изотропии материалов). Переход от растяжения к сжатию происходит непрервывно и таким образом должен существовать нейтральный слой, длина которого не меняется. При чистом изгибе происходит поворот поперечных сечений без их искажения.

Рис. 4.11. Деформация изгиба

Относительное удлинение слоя, удаленного на расстояние от нейтрального слоя, равно . Используя закон Гука, записываем

.

Отношение является постоянным для конкретного материала и конкретного случая изгиба, поэтому напряжения являются линейной функцией координаты . Из условия равновесия между силовыми факторами и внутренними силами:

,

где – осевой момент инерции сечения.

Домножим и разделим на , тогда плучим

,

где – осевой момент сопротивления поперечного сечения стержня (для круглого стержня , ).

Формула для определения нормальных напряжений . Максимальные нормальные напряжения (рис. 4.12, а).

В результате условие прочности при изгибе

.

Формула для проектного расчета

.

Если поперечный изгиб вызывается внешней силой , то в рассматриваемом сечении будет возникать поперечная сила (рис. 4.12, б), от действия которой в сечении будут возникать контактные напряжения. Их величина определяется по формуле , где – статическй момент площади сечения относительно оси .

Рис. 4.12. Напряжения при изгибе

Внутренние слои материала, особенно вблизи нейтральной линии (см. рис. 4.11), мало напряжены. Поэтому при проектировании стержней, испытывающих деформации изгиба, стремятся к использованию сечений с возможно большими моментами инерции относительно нейтральной оси. Для этого необходимо распределять площадь сечения подальше от нейтральной оси.

На рис. 4.13 в качестве примера показаны экономичные стандартные профили сечений стальных прокатных балок, выпускаемых металлургическими предприятиями для нужд промышленности и строительства.

Рис. 4.13. Рациональные сечения стержней при изгибе: а — двутавр; б — швеллер; в — уголок