Основні теоретичні відомості. Мірою інертності тіла при обертальному русу є момент інерції

Мірою інертності тіла при обертальному русу є момент інерції . Момент інерції тіла при обертальному русі відіграє таку ж роль, як маса при поступальному русі.

Моментом інерції матеріальної точки масою m відносно деякої осі ОО' (рис. 1) називається добуток маси точки на квадрат відстані від точки до цієї осі:

. (6.1)

Будь яке фізичне тіло можна розглядати як сукупність матеріальних точок і визначати момент інерції тіла відносно заданої осі як суму моментів інерції всіх його точок

. (6.2)

де – загальне число матеріальних точок (атомів), з якого складається дане тіло. Для практичних обчислень моментів інерції потрібно від суми перейти до інтеграла:

. (6.3)

В загальному випадку, коли тіло має складну форму і густина тіла не є сталою по всьому об’єму тіла, інтеграл (3) береться досить складно. Але, якщо тіло однорідне, тобто , інтеграл (3) набуває вигляду:

. (6.4)

Момент інерції залежить від маси, розмірів, форми тіла, розташування осі обертання.

Рис. 6.1 До обчислення моменту інерції матеріальної точки

Якщо тіло має правильну форму, а вісь обертання проходить через центр маси тіла і є віссю симетрії тіла, інтеграл (4) береться досить просто.

Зокрема, для суцільних однорідних диска і циліндра момент інерції відносно осі, що збігається з віссю симетрії диска (циліндра), проведеною перпендикулярно до основи, визначається формулою:

, (6.5)

де – маса, – радіус диска (циліндра).

Для однорідної кулі радіуса масою момент інерції відносно осі, що проходить через центр маси:

. (6.6)

Для однорідного тіла кубічної форми відносно осі обертання, що проходить через центр маси і перпендикулярної до будь-якої грані:

. (6.7)

де - довжина ребра куба, - маса тіла.

Для однорідного прямокутного паралепіпеда, довжина ребер якого :

. (6.8)

тут і - довжина ребер перпендикулярних до осі обертання, - маса тіла. Вісь обертання паралельна до осі .