Теоретическое введение.

рис.1

Согласно закону Гука сила упругости, что дейтсвует на колеблющуюся материальную точку, прямо пропорцианальна смещению x и всегда направлена к положению равновесия:

F = – kx, (1)

где F – сила упругости, x – смещение, k – коэффициент возвращающей силы или жесткости системы. Единица измерения в СИ [ k ] = 1 .

Знак минус указывает на то, сила упругости и смещение направлены в противоположные стороны, поэтому ее часто называют возвращающей силой.

Период и фаза упругой силы совпадают с периодом и фазой ускорения.

Подвесив к пружине тело весом Р и измерив изменение ее длины, можно по формуле (1) найти k – жесткость пружины.

Однако, величину k можно определить и иначе. Известно, что колебательное движение, происходящее под действием упругой силы, является гармоническим колебанием.

Колебательное движение – всякий периодический, то есть повторяемый с течением времени, процесс, или почти периодический процесс, в котором какая-либо физическая величина принимает одинаковые значения через равные или почти равные промежутки времени. Одной из разновидностей колебаний являются механические колебания.

Основные характеристики механических колебаний:

1. отклонение или смещение x – мгновенное смещение относительно положения равновесия x = f (t), [ x ] = м;

2. амплитуда колебания А – максимальное отклонение о положения равновесия, [ А ] = м;

3. период колебания Т – время, за которое совершается одно полное колебание, [ Т ] = с;

4. частота колебаний ν – число колебаний в единицу времени, [ ν ] = Гц=с^-1;

Величина

называется круговой или циклической частотой, [ ω ] = рад/с;

5. фаза колебаний , где φ ₀ – начальная фаза (при t =0), характеризует мгновенное состояние колебательной системы и определяется отклонением в любой момент временем.

Колебания, которые происходят с постоянной во времени амплитудой А, называются незатухающими колебаниями. Для получения незатухающих колебаний в реальных физических системах необходимо постоянно подводить к ним энергию, восполняющую затраты на трение, излучение и др., иначе амплитуда колебаний уменьшается со временем и колебания в системах затухают.

Одной из простейших колебательных систем является пружинный маятник, изображенный на рис.1. Если привести такой маятник в колебательное движение, то в результате действия сил трения колебания будут постепенно затухать. Но если амплитуда колебаний невелика, а вес пружины значительно меньше подвешенного груза, то пружинный маятник дает колебания близкие к гармоническим.

Колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса:

x=А· sin (ω t + φ ₀) или x=А· cos (ω t + φ ₀),

где А – амплитуда, ω t + φ ₀ – фаза колебаний, ω – циклическая частота,

х – смещение.

Если начальная фаза равна нулю, то уравнение гармонических колебаний имеет вид:

x=А· sin ω t или x=А· cos ω t, (2)

Первая и вторая производные от смещения х – скорость υ и ускорение а – также изменяются по гармоническому закону:

υ = x' =Аω · cos ω t,

а = x'' = υ ' = – Аω ²· sin ω t (3)

где υ _max = Аω – амплитуда скорости, а _max = Аω ² – амплитуда ускорения.

Таким образом, ускорение при гармоническом колебании равно:

а = – w² ∙ x,

где w – круговая частота, x – смещение.

Тогда сила, действующая при гармонических колебаниях, по II закону Ньютона: F = ma = – mw²x (4)

С другой стороны, если гармонические колебания происходят под действием силы упругости, то справедлива формула (1).

Сравнивая (1) и (4), получаем:

mw²x = kx, k = mw²,

т.к. w = , то k = (5)

Таким образом, зная массу тела подвешенного к пружине m и период колебаний T такой системы, можно определить жесткость пружины k.