Методы оценки спектральной плотности мощности сигнала

Оценка спектральной плотности мощности представляет известную проблему для случайных процессов. Примерами случайных процессов может служить шум, а также сигналы, несущие информацию. Обычно требуется найти статистически устойчивую оценку. Анализ сигналов подробно рассматривается в курсе «Цифровая обработка сигналов» [52, 53, 54, 55]. Начальные сведения изложены в [56].

Для сигналов с известными статистическими характеристиками спектральный состав может быть определен по конечному интервалу этого сигнала. При неизвестности статистических характеристик сигнала по отрезку сигнала можно получить только оценку его спектра. Разные методы использую различные допущения, и поэтому дают различные оценки.

При выборе оценки исходят из того, что в общем случае анализируемый сигнал представляет собой случайный процесс. И требуется выбрать несмещенную оценку, обладающую малой дисперсией, позволяющую усреднить спектр сигнала. Смещением называют разницу между средним значением оценки и истинным значением величины. Несмещенной оценкой называют оценку с нулевым смещением. Оценка с малой дисперсией хорошо локализует искомые величины, т.е. плотность вероятности сконцентрирована около среднего значения. Желательно иметь состоятельную оценку, т.е. оценку, которая при увеличении размера выборки стремится к истинному значению (смещение и дисперсия стремятся к нулю). Различают оценки параметрические, использующие только информацию о самом сигнале и непараметрические, использующие статистическую модель случайного сигнала, и осуществляющие подбор параметров этой модели.

При оценках случайных процессов распространено использование корреляционных функций.

Для эргодичного процесса возможно определение статистических параметров процесса путем усреднения по одной реализации.

Для стационарного случайного процесса корреляционная функция R_x(t) зависит от интервала времени, для которого она определяется. Эта величина характеризует связь между значениями x(t), разделенными промежутком t. Чем медленнее убывает R(t), тем больше промежуток, в течение которого наблюдается статистическая связь между значениями случайного процесса.

R_x(t)= ,

где - математическое ожидание x(t).

Соотношение между корреляционной функцией R(t) и спектральной плотностью мощности W(w) для случайного процесса определяется теоремой Винера-Хинчина

R(t)= , W(w)=

Для дискретных процессов теорема Винера-Хинчина устанавливает связь между спектром дискретного случайного процесса W(w) и его корреляционной функции R_x(n)

W(w)= R_x(n)· exp(-j· w· n· T)

Для оценки энергии сигнала во временной и частотной областях используется равенство Парсеваля

Одним из распространенных способов получения оценки спектральной плотности является применение метода периодограмм.

Периодограмма (Periodogram) [54].В этом методе производится дискретное преобразование Фурье для сигнала x(n), заданного в дискретных точках выборки длиной N отсчетов и его статистическое усреднение. Фактическое вычисление спектра X(k), выполняется только в конечном количестве частотных точек N. Применяется быстрое преобразование Фурье (FFT). Вычисляется спектральная плотность мощности, приходящаяся на один отсчет выборки:

P_xx(X_k)=|X(k)|²/N, X(k)= , k=0, 1, …, N-1.

Для получения статистически устойчивой оценки, имеющиеся данные разбивают на перекрывающиеся выборки, с последующим усреднением спектров, полученных по каждой выборке. Задается число отсчетов на выборку N и сдвиг начала каждой последующей выборки относительно начала предыдущей N_t. Чем меньше число отсчетов в выборке, тем больше выборок и меньшая дисперсия у оценок. Но поскольку длина выборки N связана с частотным разрешением (2.4), то уменьшение длины выборки ведет к уменьшению частотного разрешения.

Таким образом, сигнал просматривается через окно, а данные, не попадающие в окно, принимаются равными нулю. Конечный сигнал x(n) состоящий из N отсчетов, обычно представляют как результат умножения бесконечного по времени сигнала (n) на прямоугольное окно с конечной длиной w_R(n):

x(n) = (n) ∙ w_R(n),

а непрерывный спектр X_N(f) наблюдаемых сигналов x(n) определится как свертка Фурье-образов X(f), W_R(f) бесконечного по времени сигнала (n) ∙ и окна w_R(n)

X_N(f)=X(f)*W_R(f)=

Спектр непрерывного прямоугольного окна (rect) имеет форму интегрального синуса sinc(x)=sin(x)/x. Он содержит главный «лепесток» и несколько боковых, из которых самый большой приблизительно на 13 dB ниже основного пика (см. рис.15).

Фурье-образ (спектр) дискретной последовательности, получаемой N-точечной дискретизацией непрерывного прямоугольного окна, показан на рис.32. Он может быть вычислен суммированием смещенных интегральных синусов (2.9), в результате получается ядро Дирихле [53]

Рис. 32. Спектр дискретного прямоугольного окна

В то время как сигнал с бесконечной длиной сконцентрирует его мощность точно в дискретной частоте f_k, прямоугольная выборка сигнала имеет распределенный спектр мощности. Чем короче выборка, тем более распределенный спектр.

При спектральном анализе производится взвешивание данных с помощью оконных функций, чем добиваются уменьшения влияния боковых «лепестков» на спектральные оценки.

Чтобы обнаружить две гармоники f₁ и f₂ с близкими частотами, необходимо, чтобы для временного окна T ширина главного «лепестка» Df_-3≈ Df_L=0=1/Т, определяемая на значении -3дБ, была меньше разности искомых частот

Df=f₁-f₂> Df_-3

Ширина временного окна Т связана с частотой дискретизацией f_s и числом отсчетов выборки формулой (2.4).

Инструментальные средства гармонического анализа. Для исследования сигналов очень удобно применение пакета MATLAB, в частности, его приложения (Toolbox) Signal Processing.

Модифицированные периодограммы используют непрямоугольные оконные функции, уменьшающие эффект Гиббса. Примером может служить использование окна Хэмминга (Hamming). Но при этом одновременно происходит примерно вдвое увеличение ширины главного лепестка спектрограммы. Несколько более оптимизировано окно Кайзера (Kaiser). Увеличение ширины главных лепестков при создании фильтров нижних частот ведет к увеличению переходной полосы (между полосами пропускания и задержания).

Оценочная функция Уэлча (Welch). Метод состоит из деления последовательных данных времени в сегменты (возможно с перекрытием), далее обрабатывается каждый сегмент, а затем оценивают спектр путем усреднения результатов обработки сегментов. Для улучшения оценки могут использоваться непрямоугольные оконные функции, например окно Хэмминга. Увеличение числа сегментов уменьшает дисперсию, но при этом уменьшается разрешение метода по частоте. Метод дает неплохие результаты при малом превышении полезного сигнала над шумом и достаточно часто используется на практике.

На рис.33 приведены оценки гармонического состава для данных, содержащих узкополосые полезные сигналы и белый шум, при различных выборках (N=100, N=67), и использовании различных методов.

Рис. 33. Оценка гармоник сигнала для 1024 точечного FFT-преобразования

Параметрические методы используют авторегрессионные модели (AR). В методах строятся модели фильтров и с их помощью оценивают спектры сигналов. Все методы при наличии шума в сигнале дают смещенные оценки. Предназначены методы для обработки сигналов имеющих гармонические составляющие на фоне шума. Порядок метода (фильтра) задается в два раза больше, чем число гармоник, присутствующих в сигнале. Предложено несколько параметрических методов [55].

Метод Берга (Burg) дает высокую разрешающую способность по частоте для коротких выборок. При большом порядке фильтра спектральные пики расщепляются. Положение спектральных пиков зависит от начальных фаз гармонических.

Ковариационный (covariance) метод позволяет оценить спектр сигнала, содержащего сумму гармонических компонентов.

Метод Юла-Уоркера (Yule-Walker) дает хорошие результаты на длинных выборках и не рекомендуется для коротких выборок.

Корреляционные методы. Методы MISIC (Multiple Signal Classification) и EV (eigenvectors) выдают результаты в форме псевдоспектра. В основе методов лежит анализ векторов корреляционной матрицы сигнала. Эти методы дают несколько лучшее разрешение по частоте, чем автокорреляционные методы.