Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд (2.1) сходится при , то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении , удовлетворяющем неравенству

2) Если ряд (1.1) расходится при некотором значении , то он расходится при всяком , для которого

Следующая теорема позволяет определить интервал сходимости степенного ряда.

Теорема (об интервале сходимости степенного ряда).

Пусть существует предел тогда степенной ряд (2.1):

1) сходится абсолютно при всех , удовлетворяющих неравенству

2) расходится при любом :

Число называется радиусом сходимости степенного ряда.

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание 1. Если то заранее о сходимости или расходимости ряда определённо сказать нельзя и необходимо дополнительное исследование на сходимость в точках

Замечание 2. Можно показать, что если то ряд (2.1) абсолютно сходится на всей числовой прямой. В этом случае . Если то ряд сходится только при то есть

Замечание 3. Радиус сходимости степенного ряда можно также находить по формуле

Замечание 4. Во всех случаях (в частности, если ряд является неполным) интервал сходимости можно находить, применяя признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Пример 1. Рассмотрим ряд Здесь ,

поэтому

Следовательно, данный ряд сходится при то есть при

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, то есть в точках и .

При получаем гармонический ряд Известно, что он расходится.

При получаем знакочередующийся ряд который сходится в силу признака Лейбница.

Таким образом, данный ряд сходится при любом и расходится вне этого промежутка.

Пример 2. Определить интервал сходимости ряда

Имеем

Значит, данный ряд сходится при всех значениях

Пример 3. Найти интервал сходимости ряда

Ряд абсолютно сходится, если , и расходится если . При этот ряд сходится условно, а при расходится. Поэтому ряд абсолютно сходится, если , т.е. если , и сходится условно, если , т.е. при . При других значениях х этот ряд расходится. Итак, полуинтервал - область сходимости, а интервал область абсолютной сходимости.