Функциональные ряды. Сходимость функциональных рядов

Кафедра математики

Математика

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по теме

«Функциональные ряды. Ряды Тейлора»

для всех направлений бакалавриата

Уфа 2012

УДК 378.517.9

ББК 74.58: 22.161.6

М 54

Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)

Составитель: доцент Анасова Т.А.

Рецензент: заведующий кафедрой физики, доцент Юмагужин Р.Ю

Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой математики,

к.ф.-м.н., доцент Лукманов Р.Л.

г. Уфа, БГАУ, кафедра математики

Введение

Настоящие методические указания посвящены теме “ Функциональные ряды”, и в том числе рядам Тейлора. Приведены наглядные примеры. Методические указания помогут студентам разобраться в этой теме. Даны задачи для самостоятельного решения.

Рассмотрен вопрос сходимости функциональных рядов, понятие области сходимости и радиуса сходимости. Даны разложения элементарных функций в степенные ряды. Приведено приложение функциональных рядов для приближенных вычислений: значений функции, определенных интегралов.

Функциональные ряды. Сходимость функциональных рядов

Ряд …+ … (1.1)

называется функциональным, если его члены являются функциями от аргумента x. При каждом фиксированном значении x = x ₀ функциональный ряд (1) становится числовым рядом

…+ … (1.2)

Если ряд (2) сходится, то x ₀ называется точкой сходимости ряда (1.1).

Совокупность всех точек сходимости x функционального ряда (1.1) называется его областью сходимости, а функция

– суммой данного ряда.

Функция - называется остатком ряда (1.1).

Если ряд (1.2) расходится, то значение называется точкой расходимости ряда.

В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1.1) можно применять к нему известные признаки сходимости числовых рядов, считая x фиксированным.