Примеры решения задач.

Пример 1. Медный провод, площадь сечения которого 2 мм2, согнутый в виде трех сторон квадрата, может вращаться около горизонтальной оси. Провод находится в однородном магнитном поле, вектор индукции которого направлен вертикально вниз. При прохождении тока силой 10 А провод отклонится на 15 °. Определите индукцию магнитного поля (рис. 32). Решение После отклонения на угол проводник остается в равновесии. Условие равновесия тела, способного вращаться вокруг оси: векторная сумма моментов сил, действующих на него, имеет вид: . На каждую из трех частей проводника действуют две силы: сила Ампера и сила тяжести. Выбираем систему координат так, чтобы ось 0y была направлена через середину проводника ВС вертикально вниз, а ось 0x – по оси вращения (рис. 32).

На проводники АВ и СД действуют равные по величине и противоположно направленные силы Ампера. Радиус-векторы этих сил одинаковы, поэтому моменты этих сил также равны по величине и противоположно направленные, т. е. их суммарный момент равен нулю. На проводник СД действует сила Ампера

( , так как вектор и элемент тока взаимно-пер­пен­дикулярны).

Момент силы относительно оси вращения:

,

где – радиус-вектор силы ; .

Векторы и направлены под углом .

Проекция на ось 0x:

.

На весь проводник действует сила тяжести , где – масса проводника;

,

где – плотность меди; – объем проводника; .

Тогда получаем

.

Сила тяжести приложена к центру масс.

Координаты центра масс:

,

следовательно, величина радиус-вектора силы тяжести , а угол между и составляет .

Проекция момента силы тяжести на ось 0x следующая:

;

или ;

;

откуда следует

.

Подставляем числовые данные:

= 2 мм² = 2·10^{-6 м2}; = 10 А; = 15º; = 9, 8 м/с²; = 1, 7·10^-8 Ом·м.

Вычисления дают: = 9, 3 мТл.

Пример 2. Стальной проводник диаметром 0, 1 мм висит в однородном магнитном поле индукцией 20 мТл (рис. 33). Найти силу тока в проводнике. Плотность стали 7, 8·10³ кг/м³.

Решение

По условию проводник находится в равновесии, значит, геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю:

(а)

На данный проводник действуют две силы: сила Ампера со стороны магнит­ного поля и сила тяжести со стороны гравитационного поля Земли. Следовательно, условие равновесия данного проводника будет иметь вид: (б) или (в) Модули сил определяются: , (г) где . (д)

Так как ; – масса проводника; , где – объ­ем проводника; – плотность стали; , то площадь сечения проводника .

Следовательно,

(е)

С учетом (д) и (е) выражение (г) примет вид:

, откуда получаем

.

Подставим числовые данные: =0, 1 мм = 1·10^{-4 м;} = 20 мТл = = 2·10^-2 Тл; = 7, 8·10³ кг/м³.

Вычисления дают: = 0, 12 А.

Пример 3. На двух горизонтальных рельсах, расстояние между которыми 50 см, лежит стержень перпендикулярно им. Рельсы и стержень находятся в вертикальном магнитном поле с индукцией 50 мТл. Масса стержня 200 г, коэффициент трения стержня о рельсы 0, 15. Определите силу тока, который можно пропустить по стержню, чтобы он двигался равномерно и прямолинейно по рельсам (рис. 34).

Решение

Пусть вектор магнитной индукции направлен вертикально вниз, рельсы располагаются в горизонтальной плоскости, ток течет по проводнику из-за чертежа «к нам».

На стержень действуют следующие силы: сила тяжести , направленная вертикально вниз, силы реакции опоры , направленные вертикально вверх, перпендикулярно рельсам, сила Ампера , направленная, согласно правилу левой руки, вправо (по рисунку), сила трения , направленная влево (рис. 34).

Рис. 34

По условию задачи проводник должен двигаться прямолинейно и равномерно, поэтому векторная сумма всех указанных сил равна нулю:

.

В проекциях на оси координат:

Ox: ;

Oy: ,

откуда следует

;

.

Сила Ампера определяется выражением

, так как .

Сила трения , где – коэффициент трения.

Следовательно, или .

Откуда следует .

Подставим числовые значения:

= 50 см = 0, 5 м; = 50 мТл = 5·10^-2 Тл; = 200 г = 0, 2 кг; = 9, 8 м/с2; = 0, 15.

Вычисления дают = 11, 8 А.

Пример 4. По тонкому проводу в виде кольца радиусом 50 см течет ток 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле 25 мТл. Найти силу, растягивающую кольцо.

Решение

Предположим, что ток идет по кольцу по часовой стрелке, а силовые линии магнитного поля направлены за чертеж (рис. 35). Для решения задачи выделим элемент кольца . На данный элемент с током в магнитном поле действует сила Ампера , направленная по радиусу кольца, и силы натяжения , действующие на концы элемента . Сила Ампера определяется выражением , где , так как элемент виден из центра под углом . Следовательно, .

Проекция сил натяжения на направление радиуса будет следующая:

(при малых углах ).

По первому закону Ньютона: или

, откуда получаем .

Вычисления: = 100 А · 25·10-3 Тл · 0, 5 м = 1, 25 Н.

Пример 5. Прямоугольная проволочная рамка со сторонами 20 см и 10 см расположена в одной плоскости с бесконечно прямым проводом с током 20 А (рис. 36). По рамке протекает ток 1 А. Длинные стороны рамки, параллельные проводу, расположены на расстоянии 10 см от него. Определить силы, действующие на каждую из сторон рамки. Считать, что ток в ближайшей к проводу стороне рамки сонаправлен с током в проводе.

Решение

Прямоугольная рамка находится в неоднородном магнитном поле, индукция которого зависит от расстояния, согласно закону Био-Савара-Лапласа, следующим образом:

, – расстояние от прямолинейного проводника с током до рассматриваемой точки. На каждый элемент тока рамки в магнитном поле действует сила Ампера . В пределах рамки вектор направлен перпендикулярно чертежу, поэтому . Общую силу, действующую на сторону рамки, находим интегрированием: .

Короткие стороны рамки расположены одинаково относительно провода, поэтому на них действуют одинаковые по модулю и противоположно направленные силы Ампера:

, .

Силы, действующие на длинные стороны рамки, определяются как

;

.

Результирующая сила .

Вычисления дают: = 8 мкН; = 4 мкН; = 2, 8 мкН.

Результирующая сила = 4 мкН (направлена влево по рисунку).

Сумма сил и равна нулю.

Пример 6. По длинной катушке, изготовленной из проводника диаметром 0, 2 мм, течет ток силой 10 А. В магнитное поле этой катушки помещают квадратную рамку со стороной 2 см, плоскость которой параллельна магнитным линиям. По рамке пропускают ток силой 4 А. Найти вращающий момент сил М, действующий на рамку в магнитном поле катушки.

Решение

Катушка с током создает магнитное поле с индукцией

,

где – магнитная постоянная; – число витков катушки, содержащихся на единице её длины; – сила тока.

; число витков катушки , где – диаметр провода. Следовательно, . (а)

Вращающий момент, действующий на рамку с током в магнитном поле катушки, имеет вид:

,

где – магнитный момент рамки с током; – индукция магнитного поля катушки.

Модуль момента сил

,

где – угол между направлением вектора и нормалью к рамке.

.

По условию поэтому . (б)

С учетом (а) уравнение (б) принимает вид:

.

Размерность .

Вычисления дают = 0, 01 Н · м.

Пример 7. Квадратная рамка из тонкого провода массой 10 г без трения вращается относительно вертикальной оси ОО1, проходящей через ее центр перпендикулярно двум противоположным сторонам рамки (рис. 37). Рамка находится в однородном магнитном поле с индукцией 0, 1 Тл, направленной перпендикулярно плоскости чертежа. По рамке протекает ток силой 2 А. Определить период малых колебаний рамки около положения её устойчивого равновесия. Решение При отклонении рамки на малый угол от положения равновесия возникает вращающий момент, созданный силами Ампера, действующими на стороны рамки с током: ,

где – магнитный момент рамки, – индукция магнитного поля.

; (а)

, (б)

где – сторона рамки.

Уравнение вращательного движения рамки

, (в)

где – момент инерции рамки относительно оси ОО₁, – угловое ускорение

. (г)

Момент инерции рамки

или , (д)

где – момент инерции стороны АВ (СД), – момент инерции стороны ВС (ДА).

Из уравнений(а)–(д) следует:

или .

Для малых колебаний , поэтому . (е)

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний рамки.

Общий вид дифференциального уравнения гармонических колебаний

, (ж)

где – циклическая частота.

Сравнивая (е) и (ж), получаем .

Период колебаний .

Вычисления дают = 0, 057 с.