Четвертая основная граничная задача фильтрации

Оценка параметра и ОП качества вскрытия продуктивного пласта

( пласт неоднородный k = var)

В том случае, когда приствольная зона скважины представляет собой область непрерывного изменения проницаемости , уравнение неразрывности (3.57) видоизменится:

.

(3.72)

Для удаленной части пласта распределение давления соответствует решению (3.51), а для приствольной зоны путем интегрирования (3.56) находим

.

(3.73)

Примем закономерность изменения проницаемости в области в виде

,

где – проницаемость удаленной части пласта, т. е. при

– проницаемость стенки скважины .
После подстановки в (3.73), интегрирования и определения постоянных из граничных условий (3.68) получим следующее решение задачи:

где , а расход вычисляется по обобщенной формуле Дюпюи (3.65), в которой приведенный радиус скважины надо принять

.

Используя сходство этой формулы с формулой (3.70), легко найти
параметр , исходя непосредственно из формулы (3.71):

Пусть, например, при бурении проницаемого интервала
на стенке скважины сформирована глинистая корка проницаемостью , т. е. и . Принимая и , получим

и ,
т. е. поглощение фильтрата бурового раствора уменьшится более чем в 2 раза.

5. Плоская фильтрация в вертикально-трещиноватом пласте

Если пласт содержит упорядоченную систему трещин, то в нем благодаря анизотропии проницаемости плоско-радиальный характер фильтрации не будет иметь место (см. разд. 2).

Рассмотрим случай, когда одно из главных направлений анизотропии Ox₃ совпадает с направлением оси скважины Oz (например, упорядоченная система вертикальных трещин в вертикальной скважине). Тогда два других главных направления анизотропии Ох₁ и Ох₂ расположены в плоскости , т. е. параллельно кровле и подошве пласта. При заданных однородных граничных условиях в скважине и на поверхности питания (3.55) фильтрация будет плоской, так как , но не радиальной. В плоскости х₁х₂ имеют место обобщенный закон Дарси [см. формулу (2.40)]

,

и соответствующее ему уравнение неразрывности [см. формулу (2.42)]

.

(3.74)

Как было сказано в разд. 2, введением новой системы координат

(3.75)

уравнение (3.74), заданное в анизотропной плоскости х₁х₂, преобразуется в уравнение Лапласа

.

(3.76)

для изотропной плоскости , проницаемость которой

Принимая скважину в качестве источника (или стока) интенсивностью , получим, аналогично (3.62), поле давления

.

(3.77)

где , – радиус контура питания в плоскости . Отсюда следует, что эквипотенциальной поверхностью являются: окружность в плоскости и эллипс в плоскости х₁х₂, где – полуоси эллипса.

Это означает, что контуром питания (где ) в анизотропном пласте может быть только эллипс

(3.78)

Согласно (3.59) этому эллипсу в плоскости соответствует окружность . В то же время окружность преобразуется в эллипс

(3.79)

Поэтому в строгой постановке первая основная граничная задача формулируется так: найти решение уравнения (3.76), удовлетворяющее условию в точках эллипса (3.79) и условию на окружности .

Однако для определения расхода ‚ достаточно хорошее приближение получается, если эллипс (3.79) заменить эквивалентной окружностью радиуса

.

(3.80)

Используя в (3.61) условие при получим

.

(3.81)

Если истинный эллиптический контур питания (3.78) заменить условным – окружностью радиуса

(3.82)

то, выразив через и подставив полученное выражение и соотношение (3.80) в (3.81) придем к обычной формуле Дюпюи (3.65), в которой , а приведенный радиус скважины, приведенные коэффициенты гидропроводности и продуктивности надо принять равными:

(3.83)

где

.

(3.84)

Отсюда следует, что при прочих равных условиях в анизотропном пласте расход жидкости выше, чем в изотропном пласте эквивалентной гидропроводности .

В нижеследующей таблице приведены значения при нескольких параметрах анизотропии и .

				102	103	104
	1, 03	1, 05	1, 15	1, 21	1, 50	2, 05

Видно, что влияние анизотропии заметно при больших отношениях .

6. Определение расхода в неоднородном анизотропном пласте

Если после вскрытия пласта проницаемости и в приствольной зоне скважины изменились и стали равными и то возникает задача об определении расхода в неоднородном анизотропном пласте. Приближенное решение этой задачи может быть без труда найдено при следующих условиях:

главные направления проницаемостей в приствольной зоне и удаленной части пласта совпадают;

границей раздела областями является эллипс

(3.85)

где – радиус границы раздела в преобразованной плоскости .

Обозначим давление на общей границе через и рассмотрим каждую из областей независимо друг от друга.

Так как подобным эллипсам (3.78) и (3.85) в плоскости соответствуют концентрические окружности и , то для удаленной части пласта имеем [см. формулу (3.81)]

,

(3.86)

где –приведенная гидропроводность удаленной части пласта. Рассматривая приствольную зону скважины, замечаем, что здесь преобразование системы координат х₁х₂ в осуществляется с помощью другого параметра анизотропии , т. е.

Следовательно, границы этой области: эллипс (3.69) и окружность преобразуются в эллипсы с соответствующими полуосями

Заменив эти эллипсы эквивалентными окружностями, радиусы которых равны

(3.87)

получим приближенную формулу для расхода жидкости

,

(3.88)

где – приведенная гидропроводность призабойной части пласта.

Определив из равенства правых частей (3.86) и (3.88), после преобразования получим следующую обобщенную формулу Дюпюи:

,

(3.89)

где

.

Видно, что при и имеем , т. е. влияние анизотропии исчезает, если призабойная зона скважины в результате кольматации приобрела свойства изотропной среды. Аналогичный результат имеет место при и , что возможно, например, при гидроразрыве изотропного пласта. Отсюда следует вывод гидроразрыв гранулярного коллектора в ПЗ не может привести к заметному росту продуктивности скважины. Его положительная роль сводится к разрушению зоны кольматации и тем самым восстановлению потенциальной продуктивности пласта. Только при гидроразрыве анизотропного пласта, когда , продуктивность скважины может быть увеличена.

7. Несовершенное вскрытие пластов

Фильтрация, отличная от плоско-радиальной, возникает и в том случае, когда пласт вскрыт не на всю мощность, а частично или часть пласта перекрыта обсадной колонной, или связь пластовой и скважинной жидкостей осуществляется через перфорационные отверстия в колонне.

В этих случаях говорят о несовершенном вскрытии пласта и задают граничное условие лишь на открытой части поверхности , а на остальной условие непроницаемости . Течение жидкости в таких условиях вблизи скважины пространственно, и, естественно, решение задачи фильтрации усложняется.

Известны различные приближенные аналитические решения этих задач и экспериментальные исследования на моделях, учитывающие тот или иной вид несовершенства вскрытия пласта.

Общий вывод, который следует из полученных решений, сводится к тому, что расход жидкости и в этих случаях вычисляется по обобщенной формуле Дюпюи (3.49), где приведенный радиус скважины

,

(3.90)

здесь – показатель фильтрационного сопротивления, связанный с несовершенством вскрытия пласта.

Отношение расхода жидкости при несовершенном вскрытии к расходу при совершенном вскрытии пласта в тех же условиях определяют аналогично параметру ОП [см. формулу (3.66)]

коэффициент сопротивления:

. (3.50)

(3.91)

В общем случае где и – показатели сопротивления, обусловленные несовершенством по степени и характеру вскрытия пласта. Для случая вскрытия части пласта Маскет, используя метод источников, нашел, что при показатель несовершенства по степени вскрытия можно определить по формуле

. (3.50)

(3.91)

 

Здесь ,

где – гамма-функция (известная, табулированная функция); .

 

Представление о функции и показателе дает табл. 3.

 

Таблица 3

0, 9	0, 8	0, 7	0, 6	0, 5	0, 4	0, 3	0, 2
0, 43	0, 84	1, 38	2, 04	2, 93	4, 33	7, 1	13, 11
	0, 16	0, 47	0, 91	1, 52	2, 35	2, 62	5, 35	8, 1
	0, 24	0, 65	1, 21	1, 98	3, 04	3, 65	6, 87	10, 87
	0, 41	1, 05	1, 89	3, 05	4, 66	6, 07	10, 63	17, 39
	0, 49	1, 22	2, 19	3, 52	5, 35	7, 11	12, 24	20, 08

 

Например, при R_c = 0, 1 м, h = 20 м, h₁ = 10 м, согласно таблице при h / R_c =200 и h₁ =0, 5, получим С₁= 3, 35, что при соответствует коэффициенту сопротивления КС = 0, 65.

 

Существенное значение в этой задаче могут иметь различные проницаемости вдоль пласта и в направлении, перпендикулярном к пласту , т. е. анизотропия проницаемости. Доказано, что учесть этот фактор можно, если заменить истинную мощность пласта приведенной .

 

Если, например, , то по данным предыдущего примера имеем , и, согласно формулам, и .

 

Несовершенство по характеру вскрытия имеет место, когда связь со скважиной осуществляется через круглые или щелевые отверстия в обсадной колонне. В этом случае показатель несовершенства может быть вычислен по следующим приближенным формулам:

 

(3.50)

(3.93)

где – открытая часть поверхности колонны; – диаметры перфорационных отверстий и скважины; т — число рядов щелей.

 

Рис. 3.5 Схема призабойной зоны скважины с искусственным фильтром

 

Рис. 3.6 Зависимость показателя снижения фильтрационного сопротивления от величины дополнительной зоны фильтрации при h / Re = 15: 1 2, 3 соответственно при R_ф / R_c = 8; 5; 3.

 

 

Рис. 3.7Зависимость показателя снижения фильтрационного сопротивления от мощности пласта и радиуса фильтра при l / R_ф = 2: 1, 2, 3 соответственно

при R_ф / R_c = 8; 5; 3

 

Приведем решение задачи, когда приствольная зона скважины оборудована искусственным фильтром (2)высотой и проницаемостью , отличной от проницаемости пласта (1)(рис. 3.5).

Приведенный радиус в этом случае

,

(3.94)

где – параметр «скин-эффекта» [см. формулу (3.71)]; показатель снижения сопротивления, обусловленный наличием дополнительной зоны ; φ – функция безразмерных параметров , , .

На рис. 3.6 показаны графики зависимости φ от при трех значениях отношения и . Из него следует, что с увеличением функция быстро растет до асимптотического значения, которое наступает при . Это доказывает нецелесообразность установки фильтра высотой больше чем .

Влияние мощности пласта на φ иллюстрируется графиками на рис.3.7 при тех же значениях и .