Постройте экспериментальные гистограммы.

или р₂ = р_{1 .} (13.2)

Выражение (13.2) называется барометрической форму­лой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Так как высо­ты отсчитываются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (13.2) может быть запи­сано в виде

р = (13.3)

где р - давление на высоте h; р_о - нормальное давление, которое приближённо можно считать равным 10⁵ Па.

Прибор для определения высоты над поверхностью Земли называется высотомером (или альтиметром). Принцип его дей­ствия основан на использовании формулы (13.3). Из этой фор­мулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

3.2. Распределение Больцмана

Барометрическую формулу (13.3) можно преобразовать, если воспользоваться выражением р = пкТ:

п = п₀ ,

где п - концентрация молекул на высоте h; п_о - то же, на высоте h = 0. Так как = moN_A (N_a - постоянная Авогадро, т_о - масса одной молекулы), a R = kN_A, то

n = n₀ (13.4)

где = Е_п - потенциальная энергия молекулы в поле тя­готения, т. е.

п = п₀ . (13.5)

Выражение (13.5) называется распределением Больцма­на для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где мень­ше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в со­стоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

3.3. Распределение Больцмана и опыт Перрена

Если систему броуновских частиц одинаковой массы помес­тить в жидкость, то они будут подчиняться распределению Больцмана. Из-за большой массы броуновских частиц то показа­тель экспоненты формулы (13.4) быстро убывает с ростом высоты, поэтому концентрация частиц также уменьшается достаточно бы­стро: при изменении высоты на несколько десятков микрометров концентрация частиц изменяется в несколько раз. Поэтому можно измерить число частиц в слоях одинаковой толщины, отстоящих друг от друга на несколько десятков микрометров при помощи микроскопа с малой глубиной резкости, которая позволяет уви­деть только частицы в очень тонком слое. После этого, измерив массу броуновской частицы и учтя архимедову силу, из распреде­ления Больцмана легко определить постоянную Больцмана.

Этот метод применил в своих знаменитых опытах фран­цузский физик Жан Перрен в 1908-1910 гг. Опыты Перрена стали решающими в победе молекулярно-кинетических взгля­дов на строение вещества. После опытов Перрена существова­ние молекул признали почти все.

В данной лабораторной работе на компьютере моделиру­ется опыт Перрена. На экран компьютера выводится изображе­ние круга - «поля зрения микроскопа», в котором хаотически движутся мелкие частицы, называемые броуновскими.

3. ХОД РАБОТЫ

1. Выбрать жидкость и ввести температуру (по зада­нию преподавателя).

Для выбора жидкости нужно на окне с её названием на­жать левую кнопку мыши (рис. 13.2). Появится список возмож­ных вариантов. Из этого списка нужно выбрать необходимую для опыта жидкость, при этом её плотность отобразится в окне «Начальные условия». Температуру задать путём введения со­ответствующего числа в предназначенное для этого окно, после этого нажать кнопку «Условия заданы».

Рис. 13.2

2. Убедиться, что высота равна нулю, и пересчитать число частиц в поле зрения микроскопа на нулевой высоте (рис. 13.3).

Рис. 13.3

Число частиц в слое на данной высоте может довольно сильно изменяться, и распределение Больцмана можно приме­нять лишь для средних значений чисел частиц на каждой высо­те. Поэтому опыт следует повторить не менее 10 раз. Новый опыт осуществляется нажатием кнопки «Новое измерение». Все данные заносить в табл. 13.1.

3. Вычислить среднее значение числа частиц на нуле­вой высоте - п₀.

4. Подобрать высоту, при которой число частиц уменьшится примерно в 1, 5 раза.

При характерных для работы параметрах эта высота со­ставляет -30 мкм. Для изменения высоты ввести число в соот­ветствующее окно или использовать «ползунок».

Таблица 13.1

5. Пересчитать число частиц в поле зрения микроско­па при такой высоте.

Опыт проделать не менее 10 раз. Все данные заносить в табл.13.1.

6. Повторить этот опыт на удвоенной, утроенной и т. д. высотах.

Провести измерения на 8-10 высотах. Опыт для каждой высоты проделать не менее 10 раз.

7. Для каждой высоты вычислить среднее значение

числа частиц п и

8. Измерить диаметр частиц.

Для измерения диаметра частицы следует нажать кнопку «Измерение диаметра». При этом в поле зрения микроскопа появится координатная сетка и цепочка из расположенных вплотную друг к другу частиц.

Следует быстро (так как они дви­жутся) пересчитать их число и из­мерить длину цепочки. Тогда диа­метр частицы равен отношению длины цепочки к количеству час­тиц в ней (рис. 13.4). Проделать опыт не менее трёх раз. Для поиска следующей цепочки нажать кнопку «Новое измерение». Все данные заносить в табл. 13.2.

Рис. 13.4

9.Вычислить средний размер частиц.

По результатам трёх измерений вычислить средний диа­метр d_cp и затем объём V броуновской частицы (объём сферы V=4π r³/3).

Таблица 13.2

10.Построить график зависимости п(п) от высоты, выбрав масштаб на координатных осях так, чтобы график занимал всю площадь листа

Как следует из формулы (13.4), из-за экспоненциальной зависимости числа частиц п от высоты h, (п) зависит от высо­ты линейно, т. е. определяется уравнением вида у = а+bx:

(п) = (п₀) – ,

поэтому тангенс угла наклона (b) полученного линейного гра­фика равен коэффициенту при высоте h. Найти тангенс угла на­клона можно из отношения катетов полученного на графике треугольника либо (по указанию преподавателя) воспользовать­ся транспортиром или методом наименьших квадратов.

11.По тангенсу угла наклона графика определить по­стоянную Больцмана k.

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое молекула?

2.В чём состоит физический смысл распределения Больцмана?

3.Одинаково ли число молекул в единице объёма газа при отсутствии поля внешних сил и при его наличии? От чего оно зависит?

4.Есть ли различия в распределении лёгких и тяжёлых молекул в земной атмосфере?

5.На каком принципе основана работа прибора, которым можно определять высоту самолёта над землёй (или уровнем моря)? Можно ли определять этим прибором высоту низко ле­тающих объектов? космических кораблей? почему?

6.В чём сходство и различие характера распределения молекул газа в потенциальном поле и броуновских частиц в опыте Перрена?

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

1. Трофимова, Т.И. Курс физики (учебное пособие для технических специальностей ВУЗов) / Т.И. Трофимова. - М.: Издательский центр «Академия», 2007, 2008. - 560 с.

Дополнительная литература

2. Савельев, И.В. Курс общей физики. Т.1 / И.В. Савель­ев. -М.: Наука, 1977. - 414 с.

3.Курс лекций по общей физике. 4.1 / А.С. Тайлашев, ЛА. Теплякова, Н.М. Кормин, НА. Конева; под ред. Н.А. Коне­вой. - Томск: ТГАСУ, 1999. - 180 с.

4.Физика. Основы молекулярной физика и термодинами­ки: учебное пособие / С.В. Старенченко, А.С. Тайлашев, Л.И. Тришкина, Н.А. Конева; под ред. Н.А. Коневой. - Томск: ТГАСУ, 2002, - 102с.

Лабораторная работа № 14

ИЗМЕРЕНИЕ ПРОБЕГА БРОУНОВСКОЙ ЧАСТИЦЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЬЦМАНА

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучить броуновское движения как случайный процесс и определить постоянную Больцмана.

2. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Работа выполняется на компьютере.

3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

3.1. Броуновское движение

Броуновское движение было открыто в 1827 г. англий­ским ботаником Броуном (1773-1858) и заключается в том, что все мельчайшие частицы, свободно плавающие в жидко­сти, находятся в непрерывном движении. В кювете, закрытой со всех сторон (во избежание испарения), его можно наблю­дать днями, месяцами, годами. Это движение никогда не пре­кращается, оно вечно и самопроизвольно. В одной и той же жидкости броуновское движение происходит тем интенсивнее, чем меньше вязкость жидкости и меньше размеры броунов­ских частиц. Интенсивность движения увеличивается с повы­шением температуры жидкости. От материала самих частиц броуновское движение не зависит. Две частицы движутся водной и той же жидкости совершенно одинаково, если оди­наковы их размеры и форма. В газах интенсивность броунов­ского движения значительно больше, чем в жидкостях. Дви­жения броуновских частиц, расположенных даже весьма близ­ко друг к другу, совершенно независимы, так что о каких-либо течениях, т. е. конвективном происхождении движения, не может быть речи.

Броуновское движение является прямым следствием моле­кулярного строения вещества. Так как молекулы любого вещества находятся в постоянном хаотическом движении, то частицы испы­тывают многочисленные удары со стороны окружающих их моле­кул со всех сторон. Толчки никогда в точности не уравновешива­ют друг друга. Однако, чем больше размер частицы, тем большее число молекул с разных сторон в каждый момент времени ударяет эту частицу, а следовательно, для относительно больших частиц результирующая сила этих ударов не приводит к заметному дви­жению частицы. Для малых частиц результирующая сила соуда­рений оказывается существенной в каждый момент времени. К тому же, чем меньше частица, тем меньше её масса и тем она менее инертна. Следовательно, броуновская частица движется в ту сторону, куда в данный момент её «толкает» большая по величине результирующая сила соударений. Спустя короткое время направ­ление равнодействующей силы ударов со стороны окружающих молекул меняется, и частица начинает двигаться в другом направ­лении. Таким образом, под влиянием ударов молекул окружаю­щей среды скорость броуновской частицы непрерывно и беспоря­дочно меняется по величине и направлению. Наряду с молекулами эти частицы участвуют в тепловом движении в качестве сверхтя- жёлых молекул. В состоянии термодинамического равновесия частицы имеют такую же среднюю кинетическую энергию посту­пательного движения, что и молекулы

= kT. (14.1)

Так, для частицы, массой в миллион раз превышающей массу одной молекулы, средняя квадратичная скорость оказы­вается в тысячу раз меньше соответствующей скорости молеку­лы. При температуре, близкой к комнатной, средняя квадратич­ная скорость такой частицы имеет значение порядка 1 м/с, т. е. оказывается весьма значительной.

Кроме поступательного, может наблюдаться и вращатель­ное броуновское движение.

Если бы можно было измерить мгновенную скорость бро­уновской частицы, то по этой формуле можно было бы вычис­лить постоянную Больцмана, а по ней - и число Авогадро. По­пытки таких измерений предпринимались, но неизменно при­водили к противоречивым результатам. Дело в том, что практи­чески невозможно точно измерить мгновенную скорость части­цы . Если измерить расстояние между двумя положениями броуновской частицы и разделить его на время , которое она затрачивает на прохождение этого расстояния, то получится скорость порядка нескольких микрометров в секунду. Для ки­нетической энергии движения броуновской частицы это дает величину, примерно в 10⁵ раз меньшую полученной из других независимых экспериментов. Как бы мал ни был промежуток времени , путь броуновской частицы между рассматриваемы­ми положениями не прямолинеен, а очень запутан. Он состоит из множества зигзагов, непрерывно и беспорядочно следующих один за другим (рис. 14.1).

Рис. 14.1. Положения броуновской частицы через промежутки времени 10 с (а) и 1с (б)

На рис. 14.1, а приведена линия, соединяющая положения броуновской частицы через каждые 10 с при плоском характере её движения (в тонкой мыльной плёнке). На рис. 14.1, б внутри oдного из таких интервалов в 10 с отмечены положения этой же частицы через интервалы времени в 1 с. Если теперь нанести положения частицы через промежутки времени в 0, 1 с, то каж­дый прямолинейный отрезок рис. 1, б заменился бы соответст­вующей зигзагообразной ломаной, которая была бы столь же сложна, как и весь рисунок. Отсюда ясно, насколько безнадеж­но найти истинную скорость броуновской частицы по длине прямолинейного отрезка, проходимого ею за определенный, даже очень короткий, промежуток времени. Конечно, приве­денный рисунок дает только отдаленный намек на причудливые изломы действительной траектории частицы.

3.2. Математическая теория броуновского движения

Проверка молекулярно-кинетического объяснения бро­уновского движения и вычисление из этого явления постоянных k и N_A стали возможными лишь после того, как в 1905 г. Эйн­штейн разработал математическую теорию броуновского дви­жения, в которую мгновенная скорость броуновской частицы не входит. Вместо неё входит длина прямолинейного отрезка, со­единяющего положение частицы в два различных момента вре­мени - величина, доступная измерению на опыте. При разра­ботке своей теории Эйнштейн ничего не знал о существовании броуновского движения. Он предсказал это явление и построил его полную количественную теорию. Польский физик Мариан Смолуховский (1872-1917) в 1906 г. независимо от Эйнштей­на также построил количественную теорию броуновско­го движения. Приведем здесь упрощенный вывод формулы Эйнштейна - Смолуховского.

Будем считать, что броуновская частица имеет форму ша­рика радиусом а. Рассмотрим движение её в жидкости. Если небольшой шар радиусом а равномерно движется в жидкости со скоростью , то, как показывают опыт и теория, на него дей­ствует сила сопротивления F, пропорциональная скорости . Коэффициент пропорциональности В в формуле

= BF (14.2)

называется подвижностью частицы. Для шарообразной час­тицы подвижность была теоретически вычислена Стоксом (1819-1903), который нашёл

Будем отсчитывать координату х от положения частицы, которое она занимала в момент времени t = 0. Напишем преды­дущее уравнение для каждой из множества тождественных бро­уновских частиц, сложим и разделим на число всех частиц, т. е. усредним уравнение по всем частицам. Ввиду хаотичности мо­лекулярного движения = 0. Далее, согласно формуле (14.1), = kT (на одну из трёх поступательных степеней сво­боды приходится треть энергии частицы). Поэтому получаем