Порядок выполнения работы на компьютере

Для того чтобы выполнить задания виртуальной физиче­ской лабораторной работы, необходимо запустить программу, щелкнув левой клавишей мышки по ярлыку на экране «Физ. лаб.». После этого на экране появится окно, в котором будет дан список лабораторных работ. Установить курсор на работе «Изучение движения тел при наличии сил вязкого трения» и мышкой активизировать работу программы. В результате от­кроется окно, в котором будет таблица с командами:

· О работе

· Ход работы

· Эксперимент.

Последовательно вызывая пункты меню в таблице, необ­ходимо предварительно ознакомиться с лабораторной работой и порядком ее выполнения.

После обращения к команде Эксперимент на экране поя­вится заставка для выбора вещества, в котором будет имитиро­ваться падение шарика.

После активизации команды Условия заданы на экра­не устанавливается рабочее поле, имитирующее емкость с жид­костью, шарик, горизонтальные метки и шкала для отсчета пройденного пути шариком во время падения, рабочие окошки для определения сопротивления движению шарика в жидкости: задание диаметра шарика, секундомер и табличные данные (рис. 10.5).

Эксперимент. В этой части работы на компьютере моде­лируется падение тела в жидкой среде или в газе. В ходе экспе­римента нужно определить вязкости исследуемых веществ.

Рис. 10.5

Последовательность выполнения работы на компьютере

1. Выбрать вещество. Для выбора вещества на окне с его названием нужно нажать левую кнопку мыши. Появится список возможных вариантов. Из этого списка, например, можно вы­брать растительное масло, при этом его плотность и вязкость отобразятся в окне «Начальные условия». Дело в том, что вяз­кость этого вещества такова, что для него сравнительно легко проследить за установлением скорости. Выбрав рабочее веще­ство, нажмите кнопку «Условия заданы».

2. Для выбранного вещества найти зависимость пройден­ного пути от времени. Следует нижнюю метку поставить в по­ложение 1 см, затем нажать кнопку «Новое измерение». Запи­сать время, за которое шарик прошел это расстояние, перемес­тить данную метку вниз (шаг 1 см) и повторить опыт и т. д. Проделать опыт для трех диаметров шарика (лучше взять 1, 2 и 4 мм) для всех веществ. Напоминаем, что диаметр устанавли­вается путем введения числа в соответствующее окно.

3. Построить графики зависимости пути от времени для разных диаметров шарика для воды, растительного масла и глицерина. Масштаб на осях выбрать таким, чтобы график за­нимал всю площадь листа.

4. Выбрать вещество, например глицерин. Установить планку 15 см, выбрать диаметр шарика, например 2 см. Зафик­сировать время падения шарика. Опыт проделать для всех веществ. Построить график зависимости времени падения от вязкости вещества для одного размера шарика. Данные о вязкости веществ приведены в начальных условиях на экра­не компьютера.

5. Определить вязкость веществ при помощи расчета ко­эффициента внутреннего трения по формуле (10.4). Для этого поставьте верхнюю метку на некотором расстоянии (около 3 см) от уровня жидкости, чтобы на этом участке успело устано­виться равномерное движение шарика. Бросьте шарик в жид­кость, измерьте время падения шарика при равномерном дви­жении и определите путь, пройденный им до нижней метки, на­ходящейся на уровне 15 см. Проделайте этот опыт с тремя ша­риками разных диаметров (например, 0, 5, 1 и 2 мм). Получен­ные результаты сравните с табличными.

6. Результаты эксперимента и расчета коэффициента вяз­кости и погрешности ошибки эксперимента абсолютной 𝜟 и относительной 100 % занесите в табл. 10.2.

Таблица 10.2

Внимание. Следует обратить внимание на график зави­симости пройденного пути от времени для исследуемых ве­ществ. Если на графике не будет участка, соответствующего прямой линии, то вязкость данной жидкости таким методом определить нельзя.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие силы действуют на тело, погруженное в жид­кость?

2. Чему равна тормозящая сила?

3. Какой процесс называют внутренним трением или вяз­костью?

4. Каков механизм переноса количества движения в этом процессе?

5. От чего зависит сила внутреннего трения жидкости?

6. Каков физический смысл коэффициента внутреннего трения?

7. Какое течение жидкости называют ламинарным, турбу­лентным?

8. Почему коэффициент турбулентной вязкости много больше соответствующего коэффициента вязкости при лами­нарном потоке?

9. Почему в современные масла в двигателях автомобиля добавляют дополнительные компоненты?

10. В чем заключается метод Стокса для определения ко­эффициента внутреннего трения?

11. Вывести размерность в единицах СИ.

12. Что характеризуют величины Δ h, Δ t, Δ d и как их мож­но определить?

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

1. Трофимова, Т.И. Курс физики (учебное пособие для технических специальностей ВУЗов) / Т.И. Трофимова. - М.: Издательский центр «Академия», 2007, 2008. - 560 с.

Дополнительная литература

2. Сивухин, Я.В. Общий курс физики. Т.1 / Я.В. Сивухин. - М.: Наука. 1979. - 519 с.

3. Суорц, Кл. Э. Необыкновенная физика обыкновенных явлений. Т.1 / Кл. Э. Суорц. - М.: Наука. 1986. - 400 с

Лабораторная работа № 12

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ ПО СКОРОСТЯМ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучить статистические закономерности на примере рас­пределения молекул идеального газа по скоростям.

2. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Механическая модель для изучения распределения моле­кул по скоростям, линейка, пшено, отвес, компьютер.

3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

3.1.Статистический метод описания систем с очень большим числом частиц

В молекулярной физике и термодинамике исследуются системы, состоящие из огромного числа частиц. Для описания свойств таких систем вводится ряд параметров, связанных со свойствами частиц, входящих в рассматриваемую систему. Та­кими параметрами являются давление, температура, плотность и др. Понятия давления, температуры, плотности и др. приме­нимы лишь к системам, состоящим из большого числа хаотиче­ски движущихся частиц, и теряют физический смысл для не­скольких частиц.

Закономерности, обусловленные массовостью участвую­щих в явлении частиц и хаотичностью их движения, называют­ся статистическими или вероятностными. Эти закономерности характеризуют особенности случайных явлений. Случайными называются явления (события), возможность осуществления которых при выполнении определенных условий предсказать нельзя. Что выпадет в результате бросания монеты, орел или решка? Заранее это определить нельзя. Однако, если бросаний произведено очень много, то числа выпавших орлов и решек окажутся почти равными. Это равенство выполняется тем точ­нее, чем больше произведено бросаний. В этом проявляется статистическая закономерность.

Случайные события исследуются методами теории веро­ятностей. Несмотря на невозможность предсказания исхода случайного события в серии большого числа случайных собы­тий, можно количественно охарактеризовать возможность на­ступления интересующего нас явления.

Под вероятностью Р(А) случайного события А понимается предел отношения числа случаев п, при которых интересующее нас событие имело место, к числу всех возможных событий т, проявивших себя в процессе эксперимента, когда число испы­таний стремится к бесконечности:

P(A) = . (12.1)

Событие, вероятность осуществления которого равна еди­нице, называется достоверным. Примером такого события яв­ляется извлечение белого шара из урны, в которой находятся шары только белого цвета. Событие, вероятность наступления которого равна нулю, называется невозможным. Например, достать красный шар из урны с зелеными и желтыми шарами можно с нулевой вероятностью. Вероятность интересующих нас событий можно вычислить лишь в том случае, когда из­вестно, сколько событий и какого типа возможны.

Так при изучении систем, состоящих из большого числа частиц, практически невозможно определить параметры (коор­динаты, энергию, скорость и др.) какой-либо частицы в опреде­лённый момент времени. Однако к таким системам применим статистический метод описания. Этот метод оперирует лишь усреднёнными значениями динамических характеристик этих частиц и устанавливает их взаимосвязь с макроскопическими параметрами системы в целом. Статистический подход, осно­ванный на законах классической механики, вполне удовлетво­рительно работает при описании вещества, находящегося в том или ином агрегатном состоянии (газ, жидкость, твёрдое тело, плазма). Одним из важнейших его результатов является под­тверждаемое экспериментально вполне определённое распреде­ление молекул по энергиям или скоростям. Для газов при низ­ких давлениях (близких по свойствам к идеальному газу) это распределение зависит только от температуры и массы молекул. Теоретически оно было получено Джеймсом Максвеллом в 1869 г. и носит его имя.

Рассмотрим один из стандартных методов статистиче­ского описания некоторой непрерывной физической величи­ны х. Пусть в процессе её измерения получен достаточно большой ряд значений: x₁, х₂, х₃,... х_n. Если теперь весь воз­можный диапазон изменения этой величины от x_min до х_mах разбить на т равных промежутков Δ х = (х_mах - x_min)/m, все из­меренные величины , попадут в «свои» ячейки . Если обо­значить N_j число величин х_i, попавших в ячейку , то полу­ченный результат можно представить в виде графика N_j ), называемого гистограммой или распределением величи­ны х. Примеры таких гистограмм представлены на рис. 12.1. При небольшом общем числе измерений N вид гистограммы даёт лишь приблизительную картину более или менее веро­ятного попадания измеренной величины х, в какой-либо ин­тервал (рис. 12.1, а).

При большом числе измерений статистические законо­мерности проявляются в полной мере, что позволяет взять меньшие интервалы , и достаточно точно определить вели­чины x_min, х_mах, (наиболее вероятное значение х) и (среднее значение х, которое равно лишь для симметрич­ных гистограмм распределения). Пример гистограммы с большим числом измерений той же самой величины x при­ведён на рис. 12.1, б.

Рис. 12.1. Примеры гистограмм для некоторой величины х

 

Если число измеренных значений N величины х неограни­ченно увеличивать, а ширину интервалов уменьшать, то гис­тограмма превращается в плавный график функциональной за­висимости f(х), который называется функцией распределения величины х. В этом случае оказывается полезнее пользоваться не целыми числами значений Δ N, попавших в очень малый ин­тервал Δ х, а произвести так называемую процедуру нормиров­ки функции распределения f(x). Эту процедуру математически можно записать как

=1. (12.2)

Физически это означает, что функция f(x) имеет смысл ве­роятности попадания измеренного нами значения величины х в единичный интервал окрестности конкретного х, а также то, что х обязательно (с вероятностью, равной единице) обнаружи­вается в интервале от x_min до х_mах (или от - до + ). Понятно, что такое изменение пределов интегрирования не меняет ре­зультата. Графически это означает, что площадь под кривой f(х) равна единице (нормировка на 1).

 

3.2.Распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям теплового движения

Если большое число молекул идеального газа, каждая из которых обладает произвольной скоростью (и кинетической энергией), поместить в общий сосуд, то в результате много­кратных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. В результате устанавливается некото­рое стационарное, не меняющееся со временем, распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определен­ному статистическому закону. Все направления движения при этом являются равновероятными, т. е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.

При выводе закона распределения молекул по скоро­стям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень боль­шого числа N тождественных молекул, находящихся в со­стоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля на газ не действуют.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f( ), называемой функцией распределения молекул по скоростям.

Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интерва­лы, равные d , то на каждый интервал скорости будет прихо­диться некоторое число молекул dN( ), имеющих скорость, за­ключенную в этом интервале. Физический смысл функции f( ) состоит в том, что она определяет относительное число молекул dN( )/N, скорости которых лежат в интервале от до + d , т. е.

dN()/N =f()d , (12.3)

откуда

f()= .

 

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f( ) - закон распределения молекул идеального газа по скоростям:

f()= 4 exp , (12.4)

где - масса молекулы; k - постоянная Больцмана; Т - абсо­лютная температура газа.

Из (12.4) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (тем­пературы).

Следовательно, число молекул, значения скоростей кото­рых заключены в интервале от до + d согласно (12.3) и (12.4), равно

dN=N4 exp (12.5)

 

График функции (12.4) приведен на рис. 12.2. Так как при возрастании экспоненциальный множитель уменьшается быст­рее, чем растет множитель то функция f(), начинаясь от нуля, достигает максимума при (называемой наиболее ве­роятной скоростью молекул данного газа) и затем асимптотиче­ски стремится к нулю. Кривая f(), несимметрична относительно скорости . Относительное число молекул dN( )/N, скорости которых лежат в интервале от до + d , находится как пло­щадь dS заштрихованной полоски на рис. 12.2. Площадь, ограни­ченная всей кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что f() удовлетворяет условию нормировки:

 

f() =1.

 

Рис. 12.2. График функции распределения молекул идеального газа по скоростям

 

Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав выражение (12.4) по аргументу и при­равняв производную к нулю (стандартный математический приём нахождения минимумов и максимумов функции):

. (12.6)

 

Значения = 0 и = соответствуют минимумам выра­жения (12.4), а значение , при котором выражение в скобках становится равным нулю (2кТ = ), и есть искомая наибо­лее вероятная скорость :

= = (12.7)

 

где R - универсальная газовая постоянная; М - молярная мас­са газа.

Из формулы (12.7) следует, что при повышении темпе­ратуры максимум функции распределения молекул по скоро­стям сместится вправо (значение наиболее вероятной скоро­сти становится больше). Однако площадь под кривой оста­нется неизменной, так как f() должна удовлетворять усло­вию нормировки. В результате при повышении температуры максимум молекул по скоростям будет смещаться и понижать­ся (рис. 12.3). Также при одинаковых температурах более лёг­кие молекулы имеют большие скорости, чем тяжёлые.

Зная функцию распределения молекул по скоростям f(), можно найти среднюю арифметическую скорость молекулы , она же является средним модулем мгновенной скорости (т. к. молекула не выходит за пределы некоего объёма, то средняя скорость обычно близка к нулю). По определению

 

= (12.8)

 

Значение этой скорости совпадает с положением геометри­ческого центра тяжести фигуры под кривой (см. рис. 12.2).

В результате интегрирования получаем

 

1, 13 (12.9)

 

Таким образом, координата геометрического центра тяже­сти фигуры под кривой f( ) оказывается правее максимума рас­пределения из-за несимметричности функции распределения.

Зачастую оказывается более удобно пользоваться величи­ной средней квадратичной скорости:

= 1, 22 (12.10)

 

 

Рис. 12.3. Изменение функции распределения молекул идеального газа по скоростям при повышении абсолютной температуры газа

 

Для нахождения функции распределения молекул по энергиям е теплового движения перейдём от переменной к перменной

.

 

Подставив в (12.4) и d = d ,

получим f ( ) = ехр(- / (kT)).

Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа

 

= k T. (12.11)

 

3.3.Распределение молекул по скоростям с учетом направлений (для работы на механической модели)

Описание опыта Штерна

Рис. 12.4. Схема опыта Штерна

 

Опытное изучение распределения молекул по скоростям впервые было осуществлено О.Штерном в 1920 г. при помощи созданного им метода молеку­лярных пучков. Схема установ­ки представлена на рис. 12.4. Вдоль оси внутреннего цилин­дра со щелью натянута плати­новая проволока, покрытая слоем серебра, которая нагре­вается током при откачанном воздухе. При нагревании се­ребро испаряется. Атомы се­ребра, вылетая через щель, по­падают на внутреннюю по­верхность второго цилиндра, давая изображение О щели. Если прибор привести во вращение вокруг общей оси цилиндров, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние S. Из-за различия в скоростях движе­ния отдельных молекул изображение щели получается размы­тым. Исследуя зависимость толщины осажденного слоя от дли­ны дуги S, можно оценить распределение молекул по скоро­стям. Зная радиусы цилиндров, их угловую скорость вращения, а также измеряя S, можно вычислить скорость движения атомов серебра при данной температуре проволоки. Результаты опыта показали, что средняя скорость движения атомов серебра близ­ка к той, которая следует из максвелловского распределения молекул по скоростям.

Закон распределения Максвелла в формуле (12.5) дает число молекул, абсолютные значения скоростей которых лежат в интервале от до + d независимо от их направления. Ка­ково число молекул, значения скоростей которых лежат в дан­ном интервале скоростей и имеют определенные направления? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти долю молекул, со­ставляющие скоростей которых лежат в определенных интерва­лах: составляющая - в интервале от до + d состав­ляющая - в интервале от до + d составляющая - в интервале от до + d Распределение Максвелла в этом случае имеет вид

dN ( )=4 d d d (12.12)

 

Двумерное распределение молекул по скоростям является частным случаем закона распределения Максвелла (12.12).

В этом случае предполагается, что молекулы некоторого вооб­ражаемого газа движутся, оставаясь в процессе движения толь­ко в одной плоскости. Тогда скорости молекул будут иметь лишь две составляющие, и , а =0. Формулы (12.13), (12.14), аналогичные формулам (12.5), (12.12), представля­ют собой распределение молекул по скоростям для «плоского» движения:

dN = N (12.13)

dN=4 N (12.14)

Значение наиболее вероятной скорости находится так же, как и для трехмерного распределения:

= 0, (12.15)

откуда получается: 1 - = 0, (12.16)

= . (12.17)

Получим выражение для dN в форме, удобной для расчетов. С этой целью введем отношение U= ; тогда dU=d .

dN=N dU (12.18)

или dN=N UdU. (12.19)

Перейдем к прежним переменным:

dN=N , (12.20)

dN=N (12.21)

Доля молекул Δ N, значения скоростей которых заключе­ны в интервале от до :

Δ N = N d

Под знаком интеграла в (12.22) находится полный дифференциал функции - , d .

Поэтому

Δ N = - N (12.23)

Δ N = . (12.24)

4. ХОД РАБОТЫ НА МЕХАНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

4.1.Описание установки

Экспериментальная проверка выражения

(12.24), полученного из двумерного распределения Максвелла, осуществляет­ся с помощью механиче­ской модели, в которой хаотическое движение мо­лекул моделируется беспо­рядочным двумерным рас­сеиванием крупинок пше­на (рис. 12.5).

В воронку 1, просы­пается зерно, рассеиваясь по всем направлениям в плоскости сеток 2 с квадратными ячейками.

Так как столкновения зе­рен друг с другом и с ни­тями являются случайны­ми и хаотическими, то образуется распределение направлений рассеивания, а значит, и числа частиц (зёрен), рассеянных в разных направлениях, но под одним и тем же углом к верти­кали, подобно тому, как молекулы по скоростям в случае дву­мерного газа. После сеток зёрна попадают в 18 коаксиальных цилиндров. Радиус каждого следующего цилиндра отличается от радиуса предыдущего на 1 см. Дно системы цилиндров на­клонно, поэтому частицы, попавшие в каждый ци­линдр, скатываются к щели на дне и попадают через жалюзи 4 в приемник 5. Приемник 5 представляет собой диск с прозрач­ными стенками, разделенными на 18 вертикальных секций. В каждую секцию приемника 5 попадает зерно из соответст­вующего цилиндра 3: в первую секцию - из центрального ци­линдра, во вторую - из второго цилиндра и т. д. Поэтому в при­емнике 5 верхняя поверхность зерна образует гистограмму, по­казывающую количество зерна, попавшего в тот или иной ци­линдрический слой системы цилиндров.

От формулы (12.24) перейдем к формуле, содержащей фи­зические величины, легко определяемые из эксперимента. Таки­ми величинами являются высота h_i заполнения i -й секции при­ёмника 5 и Н- общая высота заполнения всех секций. Каждое зерно попадает в какой-либо цилиндрический слой за счёт того, что при последнем столкновении с сеткой оно приобретает опре­деленную горизонтальную составляющую скорости. Поскольку равнодействующая сил, действующих на частицу в горизонталь­ном направлении, после последнего соударения равна нулю, то эта составляющая скорости остаётся постоянной вплоть до попа­дания частицы в цилиндр. Путь, пройденный частицей зерна по горизонтали, пропорционален горизонтальной составляющей скорости (равномерное прямолинейное движение). Этот же путь пропорционален и номеру цилиндрического слоя, а следователь­но, номеру секции приёмника 5. Поэтому скорость х в (12.24) можно заменить номером слоя. Так как высота заполнения i -й секции пропорциональна числу зерен AN, попавших в i -й ци­линдрический слой, то Δ N в (12.24) можно заменить на . В результате такой замены получается расчетная формула

, (12.25)

где - номер секции с максимальным заполнением частица­ми зерна.