ВВЕДЕНИЕ. Гармоническим называют такое колебательное движение, при котором на тело массы m действует возвращающая сила F

Гармоническим называют такое колебательное движение, при котором на тело массы m действует возвращающая сила F, пропорциональная отклонению x от положения равновесия.

На рисунке 13.1. показан пружинный маятник, расположенный горизонтально. Это шарик массой m, прикрепленный к пружине обладающей упругостью k.

Если шарик вывести из положения равновесия (растянуть или сжать пружину), то вследствии ее деформации возникает сила упругости, возвращающая шарик в положение равновесия

Рис. 13.1.

(13.1.)

где k – коэффициент возвращающей силы. Знак минус означает противоположность направлений х и F. Эта сила сообщает телу ускорение а и может быть выражена по закону Ньютона:

(13.2.)

- ускорение. Из формул (13.1.) и (13.2.) получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(13.3.)

Решением этого уравнения является уравнение вида:

(13.4.)

Здесь А – амплитуда колебаний,

j - начальная фаза,

(wt+j) – фаза колебаний в момент времени t,

w - циклическая частота.

Согласно решению уравнению (13.3.)

(13.5.)

Так как циклическая частота зависит только от свойств колеблющейся системы (массы и упругости), то ее называют собственной циклической частотой системы.

Примерно по гармоническому закону происходит движение математического маятника (рис.13.2.), первоначально выведенного из положения равновесия на малый угол a £ 5⁰.

Рис.13.2.

Напомним, что математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити. Действующая на материальную точку массой m сила тяжести Р=mg раскладывается на две взаимно перпендикулярные составляющие, одна из которых F₁ растягивает нить, а вторая –F вызывает ускорение в сторону положения равновесия, ее называют возвращающей силой. Она равна

Относительно точки подвеса тело совершает вращательное движение; поэтому для вывода уравнения движения надо воспользоваться законом динамики для вращательного движения.

Возвращающая сила создает возвращающий момент силы

Так как угол a мал, то sina» a (здесь a выражен в радианах). Поэтому

(13.7.)

Знак (-) указывает, что сила тяжести препятствует отклонению тела на угол a. Этот момент силы вызовет движение шарика с угловым ускорением равным второй производной угла по времени, т.е.

(13.8.)

где I – момент инерции шарика относительно точки подвеса.

(13.9.)

Подставив уравнение (13.9.) в уравнение (13.8.) и приравняв правые части полученного уравнения и уравнения (13.7.) получим уравнение движения математического маятника

(13.10.)

Если сравним его с уравнением (13.3.), то собственная циклическая частота математического маятника будет зависеть от длины и ускорения силы тяжести, т.е.

(13.11.)

Это значит, что роль массы в этом случае выполняет длина нити, а упругость системы – ускорение силы тяжести.

Известно, что период колебаний связан с частотой соотношением:

(13.12.)

Подставив в уравнение (13.12.) значение w для пружинного маятника или для математического (уравнение (13.11.), получим для математического маятника

(13.13.)

Это уравнение используют для измерения ускорения силы тяжести с помощью математического маятника.

Из уравнения (13.13.) легко определить ускорение свободного падения:

(13.14.)

Непосредственное измерение длины маятника l не представляется возможным, т.к. центр тяжести лабораторного маятника не совпадает точно с геометрическим центром шарика. Поэтому при определении ускорения силы тяжести наблюдают колебания маятника для различных l и определяют периоды колебаний Т₁ и Т₂. Тогда g легко выразить через Т₁ и Т₂ и разность длин маятников. Окончательно имеем:

(13.15.)