Основные свойства интегралов, зависящих от параметра.

Свойство 1 (непрерывность)

Если функция f (x; l) непрерывна в области , то функция непрерывна при " l Î [ a; b ].

Свойство 2 (дифференцирование)

Если функция f (x; l) и её частная производная непрерывны в области , то функция имеет непрерывную производную

Эта формула описывает правило, которое называется правилом Лейбница: чтобы продифференцировать интеграл, зависящий от параметра, по этому параметру, нужно продифференцировать подынтегральную функцию по параметру.

Доказательство правила Лейбница

w

, то .

Так как частная производная является непрерывной по условию теоремы, то

Таким образом, ч.т.д. v

Правило Лейбница легко распространяется на случай, когда и пределы интегрирования зависят от параметра λ:

Вычисляем частные производные от функции Ф:

Представляя эти частные производные в , получаем правило Лейбница в обобщенном виде:

Правило Лейбница можно применять для вычисления сложных интегралов.

Пример 2

Рассмотрим функцию

Дифференцируя по параметру а, получим:

приравниваем оба выражения и принимаем правило Лейбница.