Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Локальный экстремум
Определение. Точка М 0 называется точкой локального максимума функции f (M), т.е. f (M 0)=max f (M), если f (M) f (M 0). Определение. Точка М 0 называется точкой локального минимума функции f (M), т.е. f (M 0)=min f (M), если f (M) f (M 0). Определение. Точка М 0 называется точкой локального экстремума функции f (M), если она является точкой локального максимума или минимума. Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функция f (M) определена в некоторой окрестности точки М 0 и . Если функция f (M) имеет в точке М 0 локальный экстремум, то . Доказательство (для i =1, остальные аналогично). = = =(поскольку мы фактически имеем дело с функцией одной переменной, то имеет место теорема о необходимом условии экстремума функции одной переменной)=0. Замечание. Это условие не является достаточным. Определение. Точка М 0 называется стационарной точкой функции f (M), если . Определение. Точка М 0 называется критической точкой функции f (M), если она стационарная или не все существуют. Следствие. Пусть f (M) , где М 0 – точка локального экстремума функции f (M). Тогда (т.е. независимо от ). Доказательство. = = = . Следствие. Пусть f (M) , где М 0 – точка локального экстремума функции f (M). Тогда . Доказательство. =(0, …, 0)= . Определение. Точка М 0 называется минимаксом (седловой точкой), если она является стационарной точкой, но не является точкой экстремума. Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть f (M) , где М 0 – стационарная точка функции f (M). Тогда · если при любых , то f (M 0)=min f (M); · если при любых , то f (M 0)=max f (M); · если при разных бывает разных знаков, то экстремума нет (минимакс); · если не бывает разных знаков, но не всегда отличается от нуля, то в точке М 0 экстремум может быть, а может и не быть (нужны дополнительные исследования). (Без доказательства). Определение. Рассмотрим матрицу . Миноры , , …, называются главными минорами этой матрицы. Теорема (Критерий Сильвестра). Обозначим . Тогда, при f (M) , = (). Для того чтобы при любых выполнялось неравенство (соответственно, ), необходимо и достаточно, чтобы главные миноры матрицы, составленной из , удовлетворяли неравенствам (соответственно, ). (Без доказательства). Следствие. Пусть f (х, у) , где М 0(х 0, у 0) – стационарная точка функции f (M). Тогда · если и , то f (M 0)=min f (M); · если и , то f (M 0)=max f (M); · если , то экстремума нет (минимакс); · если , то в точке М 0 экстремум может быть, а может и не быть (нужны дополнительные исследования).
|