Свойства градиента.

Свойство 1. Производнаяфункции f (M) в точке М ₀ по направлению вектора равна произведению длины вектора на косинус угла между векторами .

Доказательство. По определению производной по направлению, градиента и скалярного произведения, учитывая, что , имеем = = , где – угол между векторами .

Свойство 2. Абсолютная величина производнойфункции f (M) в точке М ₀ по направлению вектора не превосходит длины вектора .

Доказательство. Поскольку , то пользуясь свойством 1, получаем .

Свойство 3. Наибольшее по всем векторам значение производнойфункции f (M) в точке М ₀ по направлению вектора равно длине вектора , и достигается по направлению вектора , где .

Доказательство. Пользуясь свойством 1, заметим, что = = и достигается при , т.е. при =0. Следовательно, .

Свойство 4. Наименьшее по всем векторам значение производнойфункции f (M) в точке М ₀ по направлению вектора равно – и достигается по направлению вектора , где .

Доказательство. Пользуясь свойством 1, заметим, что = =– и достигается при , т.е. при = . Следовательно, .

Свойство 5. Если , то =0.

Доказательство. Поскольку , то = . Тогда . Следовательно, по свойству 1, =0.

Определение. Линией (при n =2) или поверхностью (при n > 2) уровня функции f (M), , называется кривая (при n =2) или поверхность (при n > 2) , такая что f (M)= const.

Свойство 6. Градиент функции f (M) в точке М ₀ нормален к линии (поверхности) уровня, проходящей через точку М ₀.

Доказательство. Исходя из определения линии (поверхности) уровня, производная функции f (M) в точке М ₀ по направлению касательной к линии уровня равна нулю. Следовательно, по свойству 1, , т.е. угол между касательной к линии уровня и вектором равен .

Свойство 7. Градиент показывает направление наиболее крутого подъема.

Доказательство. По свойству 3 имеем

= = .

Определение. Окружности (сферы), образованные концами всех векторов при всевозможных векторах в конкретной точке М ₀ называются индикатрисами производных по направлению функции f (M) в точке М ₀.