Основные определения. Жидкостяминазываются вещества, имеющие определённый объем, но не обладающие упругостью формы (то есть

Жидкостями называются вещества, имеющие определённый объем, но не обладающие упругостью формы (то есть, не обладающие модулем сдвига). В отличие от твердых тел в жидкостях наблюдается ближний порядок (упорядоченное расположение соседних атомов или молекул на расстояниях порядка их нескольких межмолекулярных расстояний); дальний же порядок, присущий твердым телам (кристаллическая решетка) и вовсе отсутствует.

Временем “оседлой жизни” называется время, в течение которого молекулы жидкости сохраняют свое местоположение. По истечении данного времени, молекулы жидкости перемещаются на расстояния порядка 10^{-8 см. Молекулы жидкости, подобно молекулам твердых тел, совершают тепловые колебания около положений равновесия.}

Текучесть – это способность молекул жидкости менять свое положение относительно других молекул. Вместе с тем, силы межмолекулярного взаимодействия достаточно велики и средние расстояния между молекулами остаются неизменными. По этой причине жидкости сохраняют свой объем.

Явление внутреннего трения (вязкости) состоит во взаимодействии соседних слоев реальной жидкости, движущихся с разными скоростями, которое приводит к появлению сил вязкости (внутреннего трения), касательных поверхности слоев. При этом, молекулы более быстрого слоя стремятся увлечь за собой молекулы более медленного, и наоборот, молекулы более медленного слоя тормозят движение более быстрого. Следовательно, силы вязкости направлены вдоль поверхности соприкасающихся слоев в сторону, противоположную их относительной скорости подобно силам трения скольжения (внешнего трения) при движении одного тела по поверхности другого. По своей природе силы трения в жидкости являются силами межмолекулярного взаимодействия, то есть, электромагнитными силами, как и силы трения между твердыми телами. Явление вязкости, таким образом, связано с передачей импульса из слоя в слой, т.е. относится к явлениям переноса. Так как молекулы жидкости основную часть времени находятся около положения равновесия, то движущаяся масса жидкости увлекает соседние слои в основном за счет сцепления (межмолекулярного взаимодействия). С ростом температуры текучесть жидкости возрастает, а вязкость падает. Это связано с тем, что при нагревании жидкость “разрыхляется” (т.е. незначительно увеличивается ее объем) и силы межмолекулярного взаимодействия ослабевают. Механизм вязкости в газе является иным, так как осуществляется из-за перехода молекул из слоя в слой. Поэтому с возрастанием температуры вязкость газов, возрастает, в отличие от жидкостей.

Ламинарным называется такое течение, когда жидкие частицы движутся вдоль устойчивых траекторий. Жидкость движется параллельными слоями. Скорости всех частиц жидкости параллельны течению. Если в ламинарный поток ввести подкрашенную струйку, то она сохраняется, не размываясь по всему потоку.

Турбулентным течение становится при больших скоростях – это неустойчивое, хаотичное (вихреобразное) движение частиц жидкости.

Установившимся или стационарным называется течение, если величины и направления скоростей частиц в каждой точке движущейся жидкости не изменяются со временем.

2.2. Закономерности движения реальной жидкости в цилиндрической трубе

Пусть имеется жидкость, различные слои которой движутся с различными скоростями (рисунок 1), причем скорости слоев, отстоящих на расстоянии Δ y, отличаются на величину Δ v. Тогда отношение Δ v/ Δ y показывает, насколько быстро меняется скорость жидкости от одного слоя к другому. Для двух бесконечно близких слоев (Δ y ®0) эта величина записывается в виде dv/dy и представляет собой градиент скорости grad (v) в направлении перпендикулярном скорости движения слоев.

Рис.1. Схематическое изображение слоев.

Ньютон впервые предположил, что сила вязкости или сила внутреннего трения dF _в между двумя слоями жидкости прямо пропорциональна площади их соприкосновения dS _τ , а также градиенту скорости:

. (1)

Коэффициент пропорциональности зависящий от природы жидкости и ее температуры, называется коэффициентом вязкости или просто вязкостью. Коэффициент вязкости h измеряется в Па·с (кг /(м с)).

Рассмотрим более подробно ламинарное течение жидкости по трубе круглого сечения радиуса R длиной l. Если разность давлений Δ P = P ₁ – P ₂ (P ₁ > P ₂) на концах трубы поддерживается постоянной, то установится стационарный режим течения, при котором за равные промежутки времени t через любое поперечное сечение трубы S будут протекать равные объемы жидкости V. Особенность течения вязкой жидкости по цилиндрической трубе состоит в том, что внешний слой жидкости, примыкающий к внутренней поверхности трубы, прилипает к ней и остается неподвижным, а скорость каждого из последующих слоев увеличивается по мере приближения к центру трубы. Течение жидкости можно представить в виде движения цилиндрических слоев, параллельных оси трубы. Мысленно выделим произвольную цилиндрическую область жидкости радиуса r и длины l (рисунок 2).

Рис.2. Схематическое изображение цилиндрической области жидкости.

На ее боковую поверхность S_t =2 prl со стороны внешнего слоя, текущего с другой скоростью, действует, согласно (1), сила вязкости:

(2)

Кроме того, на основания цилиндра действует сила, связанная с разностью давлений:

. (3)

При стационарном течении жидкости скорость движения жидкости постоянна, поэтому силы, действующие на цилиндрический слой, должны быть равны и противоположны по направлению F_B = F_P, следовательно

. (4)

Выразим из этого уравнения dv и проинтегрируем получившееся выражение для того, чтобы найти скорость:

Пределы определенного интеграла выбраны из условия, что на стенке трубы (т.е. при r = R), скорость v должна обращаться в нуль. В результате получим

. (5)

Таким образом, скорость частиц движущейся жидкости изменяется от максимального значения (на оси трубы) до нуля (на стенках трубы) по параболическому закону (рисунок 3).

Рис.3. Распределение скоростей слоев жидкости в трубе.

Подсчитаем объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за время t. Для этого рассмотрим тонкий цилиндрический слой радиуса r, толщиной dr, текущий с постоянной скоростью v. За время t через кольцевую площадку площадью dS = 2 π rdr, которая представляет собой поперечное сечение этого тонкого слоя, протечет объем жидкости: dV = dS vt = 2 π rdr vt или, используя формулу (5),

(6)

Объем жидкости V, протекающей за время t через все поперечное сечение трубы S, находится путем интегрирования выражения (6) по r от 0 до R.

(7)

Разделив данное выражение на время t, получим объем жидкости, вытекающий из трубы за единицу времени или расход жидкости Q=V/t, а формула (7) будет иметь вид:

(8)

Формула (8) является количественным выражением закона Пуазейля. Из нее, в частности, следует, что расход жидкости обратно пропорционален длине трубы l, и прямо пропорционален разности давлений ∆ P на концах трубы и четвертой степени ее радиуса, то есть, чрезвычайно сильно возрастает с увеличением радиуса трубы.

Если предположить, что все частицы жидкости движутся не с различными скоростями, а с некоторой средней скоростью v _ср, то расход жидкости Q, то

. (9)

Эксперименты показали, что закон Пуазейля оказывается справедливым лишь при относительно небольших скоростях движения жидкости. Осборн Ре΄ йнольдс впервые заметил, что при достижении некоторой критической скорости движение жидкости теряет ламинарной характер и становится турбулентным (вихревым), то есть, струйка подкрашенной жидкости быстро расходится по всему сечению трубы в виде вихревых образований. Кроме того, было замечено, что значение критической скорости зависит также от размеров трубки и свойств самой жидкости. Так, например, если одна и та же жидкость течет по трубам различного диаметра, то в более широкой трубе переход от ламинарного течения к турбулентному будет происходить при меньших скоростях движения, чем в узкой. Таким образом, узкая труба оказывает более сильное, упорядочивающее влияние на характер движения жидкости. С другой стороны оказалось, что более вязкая жидкость сохраняет ламинарность течения при относительно более высоких скоростях движения.

Рейнольдс предложил характеризовать течение жидкости безразмерной величиной, названной числом Рейнольдса:

(10)

Здесь - плотность и вязкость жидкости, v _ср - средняя скорость ее течения, R – радиус трубы.

Экспериментальные исследования показали, что ламинарный режим наблюдается при течениях, которым соответствуют значения чисел Рейнольдса не более ~1000. Переход от ламинарного к турбулентному течению происходит в области значений от 1000 до 2000, а при значениях Re > 2000 течение становится турбулентным.