Принцип возможных перемещений

Рассмотрим систему в состоянии равновесия под действием заданных сил. Возможными перемещениями называются ничтожно малые упругие перемещения, вызываемые какими-либо силами, температурой или перемещениями опор, которые по своему характеру принимаются как бесконечно малые. Когда система совершает возможные перемещения, величина и направление внешних и внутренних сил, отвечающих ее исходному состоянию, остаются неизменными, а поэтому их работа будет без коэффициента 1/2.

Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)

Введем обозначение: Δ _mn – перемещение в направлении силы «m» от силы «n». Под перемещением будем понимать смещение и угол поворота, а под силой – силу и момент. Рассмотрим два состояния (рис. 6), для которых

W ₁₁ = F ₁Δ ₁₁/2, W ₂₂ = F ₂Δ ₂₂/2,

или

Приложим к балке последовательно сначала силу F ₁, а затем силу F₂ (рис. 7, а), тогда

Приложим обе силы одновременно (рис. 7, б), в этом случае

W = F ₁(Δ _{11 +} Δ ₁₂)/2 + F₂(Δ ₂₂ + Δ ₂₁)/2. (8)

Приравнивая выражения (7) и (8), получим теорему о взаимности работ (теорему Бетти):

«Возможная работа внешних или внутренних сил первого состояния на соответствующих перемещениях второго состояния равна возможной работе внешних или внутренних сил второго состояния на соответствующих перемещениях первого состояния», т.е.

F ₁Δ ₁₂ = F ₂Δ ₂₁, или W ₁₂ = W ₂₁. (9)

Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла)

На основании теоремы о взаимности работ (9) имеем F ₁ δ ₁₂ = F ₂ δ ₂₁, но если принять, что F ₁ = F ₂ = 1, тогда получаем δ ₁₂ = δ ₂₁, или в общем виде

δ _ij = δ _ji. (10)

«Перемещение точки приложения первой единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызванному первой единичной силой».

Определение перемещений. Интеграл Mора. Правило Верещагина.