Лабораторная работа №16

Указание по мерам безопасности

При выполнении лабораторной работы

Внутри используемых в работе электроизмерительных приборов имеется переменное сетевое напряжение 220 В, 50 Гц, представляющее опасность для жизни.

Наиболее опасными местами являются сетевой выключатель, гнезда предохранителей, шнур сетевого питания приборов, соединительные провода, находящиеся под напряжением.

К выполнению лабораторных работ в учебной лаборатории допускаются обучающиеся прошедшие обучение по мерам безопасности при проведении лабораторных работ с обязательным оформлением в журнале протоколов проверки знаний по мерам безопасности при проведении лабораторных работ.

Перед выполнением лабораторной работы обучающимся
необходимо:

- усвоить методику выполнения лабораторной работы, правила ее безопасного выполнения;

- ознакомиться с экспериментальной установкой; знать безопасные методы и приемы обращения с приборами и оборудованием при выполнении данной лабораторной работы;

- проверить качество сетевых шнуров; убедиться, что все токоведущие части приборов закрыты и недоступны для прикосновения;

- проверить надежность соединения клемм на корпусе прибора с шиной заземления;

- в случае обнаружения неисправности немедленно доложить преподавателю или инженеру;

- получить у преподавателя допуск к ее выполнению, подтверждая этим усвоение теоретического материала. Обучающийся не получивший допуск к выполнению лабораторной работы не допускается.

Включение приборов производит преподаватель или инженер. Только после того, как он убедится в исправности приборов и правильности их сборки можно приступать к выполнению лабораторной работы.

При выполнении лабораторной работы обучающиеся должны:

- не оставлять без присмотра включенные приборы;

- не наклоняться к ним близко, не передавать через них какие-либо предметы и не опираться на них;

- при работе с грузиками надежно закреплять их крепежными винтами на осях.

замену любого элемента установки, присоединение или разъединение разъемных соединений производить только при отключенном электропитании под четким наблюдением преподавателя или инженера.

Обо всех недостатках, обнаруженных во время выполнения лабораторной работы, сообщить преподавателю или инженеру.

По окончании работы отключение аппаратуры и приборов от электросети производит преподаватель или инженер.

Лабораторная работа №16

ИЗУЧЕНИЕ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цели работы:

изучение крутильных колебаний;

изучение крутильного маятника;

изучение свободных затухающих колебаний.

Задачи работ:

определение модуля кручения струны и момента инерции тел;

определение логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы.

Основные положения изучаемого явления

В природе и технике очень большое распространение имеют колебательные движения. Отличительной особенностью колебательного движения является его повторяемость во времени. Это означает, что через определенный промежуток времени Т, который называют периодом колебаний, все параметры колеблющегося тела (например, координата, скорость, ускорение) возвращаются к исходному значению. В частности, при крутильных колебаниях должны выполняться следующие условия:

(1)

где – угловая координата, - угловая скорость, – угловое ускорение колеблющегося тела

При этом повторяются и другие параметры, описывающие колебательное движение тел. В качестве примера колебательного движения можно указать движение маятника часов, колебания струны, движение поршней в двигателе внутреннего сгорания, колебания атомов и молекул вещества во время теплового движения. В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают свободные (собственные) и вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными называются такие колебания, которые происходят в системе, представленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически меняющейся силы. Примером может служить движение поршня автомобильного двигателя.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колебательную систему внешних сил, однако сила и моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются прямой колебательной системой. Примером автоколебаний являются механические часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через положение равновесия.

Параметрические колебания характеризуются тем, что за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например, изменяется длина нити маятника.

Крутильный маятник

Наряду с обычными, хорошо известными маятниками (физическим и математическим), удобным и достаточно простым примером колебательных систем является крутильный маятник. Схематично крутильный маятник представлен на рисунке 1.

Он представляет собой твердое тело 1, закрепленное на упругом элементе в виде натянутой нити или стальной проволоки (струны) 2, жестко закрепленной в кронштейнах 3.

Рис.1. Схема крутильного маятника

При закручивании струны вместе с телом на некоторый угол α в ней возникает деформация кручения и момент силы, препятствующий закручиванию нити:

, (2)

где - является угловой координатой. Коэффициент f, называемый модулем кручения нити, остается постоянным в пределах упругой деформации струны при закручивании.

Вращательным называется движение, при котором все точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной оси, называемой осью вращения. В соответствии с приведенным определением, видно, что рассматриваемое тело совершает вращательное движение. Анализ этого движения можно провести исходя из основного закона динамики вращательного движения:

, (3)

где М - суммарный момент сил, действующий на тело, I - момент инерции тела относительно оси вращения, e - угловое ускорение по определению:

= . (4)

Рассмотрим случай свободных колебаний крутильного маятника, когда после выведения его из положения равновесия на него не действуют сторонние моменты сил. В этом случае используя (2), (3), (4) получим соотношение:

(5)

Если ввести обозначение , то соотношение (4) можно преобразовать к виду:

(6)

Полученное дифференциальное уравнение второго порядка носит название уравнения свободных колебаний. Решение этого уравнения имеет вид:

(7)

В этом можно убедиться прямой подстановкой (7) в (6). Соотношение (7) называется уравнением гармонических колебаний. Гармоническими колебаниями называются колебания, которые можно описать с помощью функций синуса и косинуса. В данном случае коэффициент обозначает максимальный угол закручивания маятника и называется амплитудой колебания; выражение называется фазой колебания, где - начальная фаза колебания (т.е. значение фазы в момент времени ), циклическая частота колебаний. С одной стороны, как отмечалось выше
с другой стороны можно получить связь с частотой и периодом колебаний. Из общего свойства колебаний можно записать соотношение:

(t)= (t+T),

следовательно

. (8)

Учитывая, что синус является периодической функцией с периодом 2 , можно заключить, что соотношение (8) будет справедливо, если аргументы синусов отличаются на 2 , т.е.:

,

следовательно

(9)

Таким образом, введенная величина является по своему физическому смыслу циклической (круговой) частотой гармонических колебаний, т.е. определяет число полных колебаний за 1 секунду. Отсюда следует формула для периода крутильных колебаний:

= . (10)

Затухающие колебания

В случае, когда на маятник во время движения действует сила сопротивления, колебания становятся затухающими, т.е. их амплитуда постепенно убывает. Для описания таких колебаний в уравнение (10), наряду с моментами сил упругости, следует добавить момент сил сопротивления (трения), который можно представить как:

, (11)

где производная представляет собой угловую скорость вращения маятника, k - постоянный коэффициент, знак «-» указывает на то, что момент сил сопротивления противоположен по направлению движения маятника. В результате уравнение движения системы примет более сложный вид:

. (12)

Введя обозначения , , преобразуем к виду:

. (13)

При условии, что силы сопротивления относительно невелики (выполняется условие ) решение этого уравнения примет вид:

, (14)

где - амплитуда колебаний, зависящая от времени;
- циклическая частота затухающих колебаний, причем, когда , то ,. Коэффициент получил название коэффициента затухания. Коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в е раз:

График такого колебательного процесса представлен на рисунке 2:

Рис.2. График затухающих колебаний

На практике вместо коэффициента затухания используют другие, связанные с величиной:

а) декремент затухания ψ (отношение амплитуд колебаний для двух соседних периодов):

(15)

б) логарифмический декремент затухания λ:

(16)

в) добротность колебательной системы Q:

, (17)

где N -число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е» 2.72 раза.

При слабом затухании колебаний добротность с точностью до множителя равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли энергии за один период колебаний. Таким образом, из приведенной теории колебаний крутильного маятника видно, что период колебаний такого маятника непосредственно связан с моментом инерции маятника модулем упругости струны, а в случае затухающих колебаний и с коэффициентом затухания и с производными от него величинами. Полученные соотношения можно использовать для определения некоторых из входящих в эти соотношения величин экспериментальным путем.

Методика выполнения работы

Лабораторная установка

Рис. 3. Лабораторная установка

Лабораторная установка состоит из колебательной системы (держатель 1 и струна 2), магнита 3, фотоэлектрического датчика 4, электронного устройства 5 для измерения периода и числа колебаний и шкалы 6 для измерения угловой амплитуды. Цанговые устройства 7 служат для крепления перемычки 8, а винты 9 — для крепления тел в держателе. Для измерения периода колебаний маятника необходимо нажать кнопку «сброс» и повернуть маятник на такой угол, при котором электромагнит будет его удерживать. Нажать кнопку «пуск». В окошках 10 и 11 электронного устройства появляются текущие отчеты числа периодов и времени соответственно. Нажать кнопку «стоп». Рассчитать период колебаний, разделив время на число колебаний.

Вывод рабочей формулы

Определение модуля кручения струны и неизвестного момента инерции тела

Отклоним крутильный маятник на угол α. Запасенная потенциальная энергия будет при этом равна

(18)

где - модуль кручения струны, α - угол отклонения.

При прохождении положения равновесия маятник имеет max. кинетическую энергию, равную

(19)

где – – максимальная угловая скорость маятника.

Угловая скорость

,

следовательно

.

Поэтому

, (20)

где T - период колебаний, I - момент инерции маятника.

Хотя колебания затухающие, можно полагать, что в пределах одного периода убыль энергии невелика и максимальная потенциальная энергия равна максимальной кинетической. На этом основании приравняем (18) и (20):

. (21)

Установим в держатель маятника куб таким образом, чтобы ось вращения проходила перпендикулярно граням куба через его центр масс. В этом случае можно записать:

, (22)

где ––момент инерции куба, который рассчитывается по формуле
(где m-масса куба, - длина ребра куба). - период колебаний маятника с закрепленным в нем кубом.

Если начальные углы отклонения маятника в обоих опытах равны, то правые части (20) и (21) также равны и мы можем приравнять их левые часть:

. (23)

Выразим отсюда момент инерции маятника:

. (24)

Пусть в держателе закреплено тело с неизвестным моментом инерции . На основании закона механической энергии можно записать равенство, аналогично равенству (23):

. (25)

Откуда получим формулу для расчета

, (26)

где - период колебаний маятника с исследуемым телом.

Период крутильных колебаний в общем виде выражается формулой (10). Запишем эту формулу для маятника с укрепленным в держателе кубом:

. (27)

И получим выражение для расчета модуля кручения струны:

. (28)

Изучение затухающих колебаний;

Пусть в некоторый момент амплитуда затухающих колебаний равна

. (29)

А в некоторый момент времени спустя некоторый интервал времени Т равна:

. (30)

Разделим (29) на (30)

. (31)

Прологарифмируем формулу (31) и выразим коэффициент затухания:

.

Откуда

.(32)

Теперь можно определить логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы:

. (33)

.(34)

Задание

Задание 1. Определение модуля кручения струны и момента инерции тел.

1. Измерить период колебаний маятника без закрепления тел в
держателе: Т.

2. Закрепить куб в держатель и измерить период колебаний .

3. Рассчитать момент инерции куба

4. По формуле (24) рассчитать момент инерции маятника.

5. Установить в держателе тело с неизвестным моментом инерции и измерить период колебаний

6. По формуле (26) определить момент инерции закрепленного тела по формуле (28).

7. Определить модуль кручения струны: .

8. Рассчитать ошибки измерений, результаты занести в таблицу 1.

Таблица 1

№	, с	, с	, кг×	кг×		, кг×		кг×
1. 2. 3.
Ср. значение

Задание 2. Изучение затухающих колебаний

1. Установить в держателе маятника куб.

2. Измерить время, в течение которого амплитуда убывает от до .

3. По формуле (32) определить коэффициент затухания: .

4. По формулам (33) и (34) определить логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы.

5. Рассчитать погрешность измерений. Результаты занести в таблицу 2.

Таблица 2

№	град.	град.
1. 2. 3.
Ср. значение

Контрольные вопросы

1. При каких условиях возникают затухающие колебания?

2. Вывод формула для периода колебаний крутильного маятника

3. Уравнение затухающих колебаний.

4. Что такое декремент затухания и логарифмический декремент затухания, их связь с коэффициентом затухания?

5. Как в работе определяются модуль кручения струны и момент инерции подвесной системы?

6. Как выглядит график затухающих колебаний?

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов /
Т.И. Трофимова - М.: Высш. шк., 2007. - С. 253-258.

2. Савельев И.В. Курс общей физики: учеб. пособие: в 3-х т. / И.В. Савельев - Механика. Молекулярная физика. - Т.1. - М.: Наука, 1987. – С. 181 – 198.

3. Петровский И.И. Механика / И.И. Петровский. - Мн.: Изд-во Белорус. ун-та, 1973.– 352 с.

4. Сивухин Д.В. Механика: Учеб. пособие для вузов / Д.В. Сивухин. - М.: Наука, 1989. – 576 с. – Общий курс физики. - Т.1.